MATEMANIJA

Što se dobije sređvanjem ovog izraza?
[dispmath]\left(1-\sqrt 3i\right)z^5+\frac{\left(i+1\right)^8}{\left(i-1\right)^4}z^3+\frac{5-\sqrt 3i}{2+\sqrt 3i}z^2+4\frac{1}{i^{82}}=0[/dispmath]

[dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+\frac{\left(i+1\right)^8}{\left(i-1\right)^4}z^3+\frac{5-\sqrt 3 i}{2+\sqrt 3 i}z^2+4\frac{1}{i^{82}}=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+\frac{\left(-1+2i+1\right)^4}{\left(-1-2i+1\right)^2}z^3+\frac{5-\sqrt 3 i}{2+\sqrt 3 i}\cdot\frac{2-\sqrt 3 i}{2-\sqrt 3 i}z^2+4\frac{1}{\left(i^4\right)^{20}\cdot i^2}=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+\frac{2^4i^4}{\left(-2\right)^2i^2}z^3+\frac{7-7\sqrt 3 i}{4+3}z^2+4\frac{1}{1^{20}\cdot\left(-1\right)}=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5-4z^3+\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)\left(z^5+z^2\right)-4\left(z^3+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2\left(z^3+1\right)-4\left(z^3+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(z^3+1\right)\left[\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4\right]=0[/dispmath][dispmath]\left(z+1\right)\left(z^2-z+1\right)\left[\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4\right]=0[/dispmath][dispmath]z+1=0\quad\vee\quad\ z^2-z+1=0\quad\vee\quad\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
Dalje znaš...

Rešenja (ima ih pet):
[dispmath]z\in\left\{-1,\;\;\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt 3}{2},\;\;\pm\left(\frac{\sqrt 6}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)\right\}[/dispmath]

Hvala.

Rješenja bih trebao napisati u onom obliku [inlmath]Z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/inlmath]. Kako bih to izveo, malo mi se čini nezgodno... :oops:

Evo uputstva.

viewtopic.php?f=28&t=106

Znam za to, ali zanima me kako doći do toga iz ovih izraza:
[dispmath]\left(z^3+1\right)\left[\left(1-\sqrt{3}i\right)z^2-4\right][/dispmath]
Za prvi će očito biti da je [inlmath]z^3=-1[/inlmath] pa se iz toga odrede modul i kut, ali kako za ovaj drugi dio? Smije li se pojaviti razlomak?

Naravno da sme, zašto ne bi smeo:
[dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2=4[/dispmath][dispmath]z^2=\frac{4}{1-\sqrt 3 i}[/dispmath]
pa sad to, naravno, racionalizujemo
[dispmath]z^2=\frac{4}{1-\sqrt 3 i}\cdot\frac{1+\sqrt 3 i}{1+\sqrt 3 i}[/dispmath][dispmath]z^2=\frac{4\left(1+\sqrt 3 i\right)}{4}[/dispmath][dispmath]z^2=1+\sqrt 3 i[/dispmath][dispmath]z=\sqrt{1+\sqrt 3 i}[/dispmath]
Sada [inlmath]\left(1+\sqrt 3 i\right)[/inlmath] zapišemo u trigonometrijskom obliku, kako bismo mogli da ga korenujemo:
[dispmath]z=\sqrt{2e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)}}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt 2\cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)}[/dispmath]

Hvala

Evo sljedećeg:
[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^6-7\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3-8=0[/dispmath][dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=t[/dispmath][dispmath]t^2-7t-8=0[/dispmath][dispmath]t_1=8[/dispmath][dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=8\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]z_1=3[/dispmath]
Kako ovo zapisati u onom obliku [inlmath]z=r(\cos x+i\sin x)[/inlmath] ?
[dispmath]t_2=-1[/dispmath][dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=-1\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{-1}\quad /\cdot(z-1)[/dispmath][dispmath]z+1=\sqrt[3]{-1}z-\sqrt[3]{-1}[/dispmath][dispmath]-\sqrt[3]{-1}z+\sqrt[3]{-1}+z+1=0[/dispmath][dispmath]-\sqrt[3]{-1}(z-1)+(z+1)=0[/dispmath]
Kako dalje, ako je ovo dobro što sam napravio?

Pa, nije dobro.

eseper je napisao:[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=8\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]z_1=3[/dispmath]

Zaboravljaš da korenovanje u kompleksnom domenu kao rezultat daje više od jednog rešenja i to, kada se traži [inlmath]n[/inlmath]-ti koren nekog kompleksnog broja, imaćemo [inlmath]n[/inlmath] rešenja. U ovom slučaju, pošto tražimo treći koren, imaćemo tri rešenja.
Da bi našao koren nekog kompleksnog broja, moraš ga prvo prevesti u trigonometrijski oblik, tj. predstaviti ga u obliku modula i argumenta.
A da bi to učinio, moraš ga, prethodno, napisati u obliku [inlmath]a+ib[/inlmath].
Znači, [inlmath]\frac{z+1}{z-1}[/inlmath] prvo treba da racionalizuješ.

Isti slučaj i ovde:

eseper je napisao:[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=-1\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{-1}\quad /\cdot(z-1)[/dispmath]

Kad racionaliziram sa [inlmath]z+1[/inlmath] ispadne mi opet ista vrijednost kao prije racionalizacije. Da možda ne treba odvojeno brojnik i nazivnik?

eseper je napisao:Kad racionaliziram sa [inlmath]z+1[/inlmath] ispadne mi opet ista vrijednost kao prije racionalizacije. Da možda ne treba odvojeno brojnik i nazivnik?

Ne... Izvini... Ja sam se nešto zabagovao dok sam ti objašnjavao... :techie-error:

Ovde ne treba da vadiš koren od izraza [inlmath]\frac{z+1}{z-1}[/inlmath], već od [inlmath]8[/inlmath], odnosno od [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath]. Znači, [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] predstavljaš preko modula i argumenta, a ne [inlmath]\frac{z+1}{z-1}[/inlmath]. Ne treba, znači, racionalizacija u ovom slučaju, jer za brojeve [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] već znamo realne i imaginarne delove, tako da ih odmah možemo prikazati preko modula i argumenta.

Znam, ali zar ne treba prije srediti lijeve strane u oba slučaja, da ostane samo [inlmath]z[/inlmath], a ne ovaj razlomak?

Svejedno je kojim ćeš redosledom, da li ćeš prvo napisati [inlmath]8[/inlmath] odnosno [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] u obliku modula i argumenta i naći njihov treći koren pa zatim izraziti [inlmath]z[/inlmath] preko toga što si dobio, ili ćeš prvo [inlmath]z[/inlmath] izraziti preko [inlmath]\sqrt[3]8[/inlmath] odnosno [inlmath]\sqrt[3]{-1}[/inlmath] pa onda nalaziti njihov treći koren... Ista rešenja dobijaš, kako god radio...

Molim te napiši postupak ili za [inlmath]-1[/inlmath] ili za [inlmath]8[/inlmath]. Nisam te skontao najbolje, pa ću to bolje kroz primjer

[dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]8\quad /\cdot\left(z-1\right)[/dispmath][dispmath]z+1=\sqrt[3]8\cdot z-\sqrt[3]8[/dispmath][dispmath]1+\sqrt[3]8=\sqrt[3]8\cdot z-z[/dispmath][dispmath]1+\sqrt[3]8=z\left(\sqrt[3]8-1\right)[/dispmath][dispmath]z=\frac{\sqrt[3]8+1}{\sqrt[3]8-1}[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]8=\sqrt[3]{8e^{i\left(0+2k\pi\right)}}=\left|\sqrt[3]8\right|\cdot\sqrt[3]{e^{i2k\pi}}=2e^{i\frac{2k\pi}{3}}[/dispmath]
[inlmath]1^\circ\quad k=3n[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[3]8=2e^{i2n\pi}=2[/dispmath][dispmath]z=\frac{2+1}{2-1}=3[/dispmath]
[inlmath]2^\circ\quad k=3n+1[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[3]8=2e^{i\frac{2\left(3n+1\right)\pi}{3}}=2e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+2n\pi\right)}=2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\right)=-1+i\sqrt 3[/dispmath][dispmath]z=\frac{-1+i\sqrt 3+1}{-1+i\sqrt 3-1}=\frac{i\sqrt 3}{-2+i\sqrt 3}\cdot\frac{-2-i\sqrt 3}{-2-i\sqrt 3}=\frac{3-i2\sqrt 3}{7}[/dispmath]
[inlmath]3^\circ\quad k=3n+2[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[3]8=2e^{i\frac{2\left(3n+2\right)\pi}{3}}=2e^{i\left(\frac{4\pi}{3}+2n\pi\right)}=2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\right)=-1-i\sqrt 3[/dispmath][dispmath]z=\frac{-1-i\sqrt 3+1}{-1-i\sqrt 3-1}=\frac{-i\sqrt 3}{-2-i\sqrt 3}=\frac{i\sqrt 3}{2+i\sqrt 3}\cdot\frac{2-i\sqrt 3}{2-i\sqrt 3}=\frac{3+i2\sqrt 3}{7}[/dispmath]
E sad isto to još i za [inlmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{-1}[/inlmath]...

Hvala

Po ovome ću napraviti ostatak zadatka, što ne bi trebao biti problem

Odrediti sve [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath].
Napomena: Kod faktorizacije grupirati prva tri i zadnja tri sumanda.

Ovaj mi zadatak nije najjasniji. Ima li se i šta uopće ovde sređivati?
[dispmath]\left(1-\sqrt 3i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3i\right)z^5+\left(\sqrt 3+i\right)z^4-4z^2+8z+4\frac{1}{i}=0.[/dispmath]

eseper je napisao:Napomena: Kod faktorizacije grupirati prva tri i zadnja tri sumanda.

Ovo je koristan savet.

[dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+i\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4-4\left(z^2-2z-\frac{1}{i}\right)=0[/dispmath][dispmath]\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=-i[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+i\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4-4\left(z^2-2z+i\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4\left(z^2-2z+i\right)-4\left(z^2-2z+i\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(z^2-2z+i\right)\left[\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4-4\right]=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]

Kao rješenja prvog dijela, tj. kvadratne jednadžbe, dobio sam
[dispmath]z=1\pm\sqrt{1-i}[/dispmath]
Ali, nama bi sve trebalo biti pod korijenom, zar ne?

Kako misliš, sve pod korenom? Izraz bi trebalo svesti ili na oblik [inlmath]a+ib[/inlmath], ili na trigonometrijski oblik, ne znam kako se već traži u zadatku...

Traži se izračunati ona rješenja [inlmath]z=r(\cos\phi+i\sin\phi)[/inlmath]

A za to trebam imati izraz [inlmath]z=[/inlmath]korijen iz nešto... ?

eseper je napisao:A za to trebam imati izraz [inlmath]Z=[/inlmath]korijen iz nešto... ?

Ne znam, zaista, šta time želiš reći.

Postupak za prebacivanje u trigonometrijski oblik je jasno definisan i Milovan je pisao o tome. Ovde će biti potrebno da [inlmath]1-i[/inlmath] napišeš u trigonometrijskom obliku, kako bi od njega mogao izvaditi koren. E kad si našao [inlmath]\sqrt{1-i}[/inlmath], tada će biti potrebno da ga vratiš u oblik [inlmath]a+ib[/inlmath] kako bi mogao da nađeš [inlmath]1\pm\sqrt{1-i}[/inlmath]. I posle toga ćeš dobiti takav nezgodan izraz, da će biti vrlo teško prebaciti ga opet u trigonometrijski oblik, tako da pretpostavljam da bi taj izraz (koji nije trigonometrijski) trebalo da bude i konačan.

Mislio sam da iz izraza [dispmath]z=1\pm\sqrt{1-i}[/dispmath] ne mogu naći [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi[/inlmath]. To treba prije nekako srediti...

Pa eto, napisao sam ti postupak...

Ok, razumio sam.

Što se tiče drugog izraza, on se već da lijepo srediti.

Nakon racionalizacije dobijemo da je [inlmath]z^4=1+\sqrt{3}i[/inlmath] odnosno [inlmath]z=\sqrt[4]{1+\sqrt{3}i}[/inlmath] i iz toga odredimo modul koji će biti [inlmath]r=2[/inlmath] i kut od[inlmath]\sqrt{3}[/inlmath] (pritom nama odgovara onaj u prvom kvadrantu)... Točno?

Tačno je, s tim da se to odnosi na potkorenu veličinu, kojoj tek treba da nađeš četvrti koren.
I, izražavajmo se precizno.

Nije ugao jednak [inlmath]\sqrt 3[/inlmath], već je tangens ugla jednak [inlmath]\sqrt 3[/inlmath].

Oprostite profesore :lol:

Kasnije ću i riješiti ovaj zadatak do kraja...

eseper je napisao:Oprostite profesore

[dispmath]Z=\sqrt[4]{\sqrt{3}}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{4}+i\sin\cos\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{4}\right)\;?[/dispmath]
Ako bismo se još riješili ove trojke, bilo bi [inlmath]\frac{\pi+6k\pi}{12}[/inlmath]

Upravo.

Napomena: Pri faktorizaciji grupirati prva tri i zadnja tri sumanda.
[dispmath]\left(1+\sqrt 3i\right)z^7+\left(\sqrt{3-i}\right)z^6+\left(2+2\sqrt 3\right)z^5-\left(2\sqrt 3+2i\right)z^2-\left(2-2\sqrt 3\right)z-4\sqrt 3-4i=0[/dispmath]

Nema šanse da je ovo ispravno napisano.
Proveri članove uz [inlmath]z^6[/inlmath], [inlmath]z^5[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath].
Trebalo bi da budu
[inlmath]\left(\sqrt 3-i\right)z^6\\
\left(2+2i\sqrt 3\right)z^5\\
\left(2-2i\sqrt 3\right)z[/inlmath]
E, ovako kad je napisano, zadatak se rešava vrlo slično kao i prethodni...

Zadatak je točno onakav kakav je bio na ispitu. Moguće da se sastavljaču potkrala greška (čuo sam i ranije da se znalo dogodit), pa... :crazy:

Bilo kako bilo, ja ću rješiti tvoju verziju zadatka

Ovdje je sedam članova, jel to znači da će jedan biti "izuzet" iz grupiranja?

Uspio sam za prva tri
[dispmath]\left(1+\sqrt{3}i\right)z^5\left[z^2-iz+2\right]\dots[/dispmath]
De napiši kako će to izgledati kad se sve sredi i grupira :eusa-pray:

Ne, šest je članova.
[inlmath]-4\sqrt 3-4i[/inlmath] ti je jedan član, ne daj se zbuniti što nije met'ut u zagradu.

Bi znao sad?

Rješio sam zadatak i to je ništa naspram ovome. Samo sređivanje je trajalo jako dugo i čisto sumnjam da je točno, ali napisat ću šta sam dobio.

Dakle, nakon sređivanja ovog kupusa:
[dispmath]-i\left(\sqrt{3}+i\right)z^6-2i\left(\sqrt{3}+i\right)z^5+\left(\sqrt{3}+i\right)z^4-4z^2+8z-4i[/dispmath].
Hoće li biti netko dobar i provjeriti ovo? Inače zadatak je sa ispita

Evo kako ide:
[dispmath]\left(1-\sqrt 3i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3i\right)z^5+\left(\sqrt 3+i\right)z^4-\frac{\left(\sqrt 3+i\right)^3}{2i^{101}}z^2+\left(\frac{2i-2\sqrt 3}{\sqrt 3+i}\right)^3z+4\frac{1}{i}=0.[/dispmath]

Sve ti je dobro, osim što ispred člana s [inlmath]5.[/inlmath] stepenom treba [inlmath]+[/inlmath], a ne [inlmath]-[/inlmath].

Naravno, sad grupišeš prva tri i poslednja tri člana, isto kao i u prethodnim zadacima.

I možda je bilo bolje da si u prva tri člana [inlmath]\left(1-i\sqrt 3\right)[/inlmath] ostavio takav kakav jeste, a da si [inlmath]\left(\sqrt 3+i\right)[/inlmath] transformisao...

I nakon toga dobijem ovo:
[dispmath]\left[-z^2+2z-i\right]\left(z^4i\left(\sqrt{3}+i\right)+4\right)[/dispmath]
a kao rješenje prvog dijela (tj. kvadratne jednadžbe)
[dispmath]z=1\pm\sqrt{1-i}[/dispmath]
što dalje s time? ostaje u tom obliku ako se ne varam ili se može još nekako srediti i zapisati u trig. obliku?

A za ovaj drugi dio se racionalizacijom dobije
[dispmath]z=\sqrt[4]{\sqrt{3}i+1}[/dispmath]
Ako je točno, onda je prebaciti u trig. oblik najmanji problem...

eseper je napisao:a kao rješenje prvog dijela (tj. kvadratne jednadžbe)
[dispmath]z=1\pm\sqrt{1-i}[/dispmath]
što dalje s time? ostaje u tom obliku ako se ne varam ili se može još nekako srediti i zapisati u trig. obliku?

Već si imao potpuno identičan slučaj

i napisao sam ti šta i kako.

eseper je napisao:A za ovaj drugi dio se racionalizacijom dobije
[dispmath]Z=\sqrt[4]{\sqrt{3}i+1}[/dispmath]
Ako je točno, onda je prebaciti u trig. oblik najmanji problem...

Jeste, tačno je. :mhm:

Daniel je napisao:
eseper je napisao:a kao rješenje prvog dijela (tj. kvadratne jednadžbe)
[dispmath]z=1\pm\sqrt{1-i}[/dispmath]
što dalje s time? ostaje u tom obliku ako se ne varam ili se može još nekako srediti i zapisati u trig. obliku?

Već si imao potpuno identičan slučaj i napisao sam ti šta i kako.

U svakom slučaju neće se moći na kraju svesti u trigonometrijski oblik?

eseper je napisao:U svakom slučaju neće se moći na kraju svesti u trigonometrijski oblik?

Može.
Prvo u trigonometrijskom obliku napišeš [inlmath]1-i[/inlmath]. Primeniš formulu za korenovanje komplesnog broja i eto ti dva kompleksna broja. Prevedeš ih u oblik [inlmath]x+iy[/inlmath], dodaš jedinicu, i tako dobijene kompleksne brojeve standardnim postupkom ispišeš u trigonometrijskoj formi. Dosta računa, koji je glomazan, ali izvodljiv.

Svaki kompleksni broj ima svoj trigonometrijski oblik. Druga je stvar koliko je lako ili teško prebaciti ga u taj oblik. U ovom slučaju bi bilo veoma teško, dobio bi se takav kupus od izraza pri prebacivanju u trigonometrijski oblik, da prosto ne verujem da se u ovom zadatku traži da konačno rešenje mora biti u trigonometrijskom obliku.

Dobro, nula je izuzetak.

Ali inače da, svaki kompleksan broj izuzev nje se može zapisati u trigonometrijskom obliku- iako je postupak nekad težak.
U ovom slučaju i ne toliko, ali brojevi koje ćeš dobiti nisu naročito lepi...
Jedino ako profesor hoće da malo bolje naučite princip te transformacije.

U ovom slučaju sigurno ne treba.

Milovan je napisao:Dobro, nula je izuzetak.

Hm, pa i ne mora da bude.

Za moduo joj stavimo da je nula, a za argument šta god 'oćemo...

Ali, dobro, to sad već zalazi u filozofiju.

Sljedeći:

[dispmath]\frac{\left(\sqrt{3}-1-i-\sqrt{3}i\right)z^7-\left(2i-2\sqrt{3}\right)z^3-1-\sqrt{3}+i-\sqrt{3}i}{Cz^{10}}=4[/dispmath]

gdje je

[dispmath]C=\frac{\cos\left(\frac{17\pi}{9}\right)+i\sin\left(\frac{17\pi}{9}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{9}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right)}.[/dispmath]
Kako srediti [inlmath]C[/inlmath]?

Prvo racionalizuj (čime će ti u imeniocu ostati [inlmath]1[/inlmath]), zatim primeni transformacije proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir; posle skraćivanja ostaće ti [inlmath]\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}[/inlmath], tj. [inlmath]-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath].

Ili primeniš odmah pravilo deljenja kompleksnih brojeva:
[dispmath]\frac{\rho_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)}{\rho_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)}=\frac{\rho_1}{\rho_2}\left(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)\right)[/dispmath]
Pa kad se skrate vrednosti u argumentu, dobijaš taj isti rezultat.

Hvala obojici

Pada li vam možda napamet što bi me još moglo dopasti uz kompleksni? Znači, uvijek bude neki preduvjet za rješavanje samog zadatka, primjerice kao u ovom dobiti [inlmath]C[/inlmath], ili kao u ovom dobiti rješenje sustava... Uz dijeljenje, kao u zadatku poviše, može me još dopasti na primjer pomnožiti neke izraze ili možda potencirati, korjenovati... što bi se još moglo ubaciti u takav zadatak? Ima li ideja? :mrgreen:

U međuvremenu evo sljedećeg na provjeru:
[dispmath]\left[z+\left(\sqrt{3}+i\right)^6\right]^3=\frac{(i-1)^4}{(i+1)^3+\Im(i+1)^3}[/dispmath]

[inlmath]*\left(\sqrt{3}+i\right)^6=-64[/inlmath]
[inlmath]*(i-1)^4=-4[/inlmath]
[inlmath]*(i+1)^3=2i-2[/inlmath]
[inlmath]*\Im(i+1)^3=2[/inlmath]

[dispmath][z+64]^3=\frac{-4}{2i}[/dispmath]
[inlmath][z+64]^3=-2i\quad /\sqrt[3]{}[/inlmath]
[dispmath]z+64=\sqrt[3]{-2i}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{-2i} -64[/dispmath][dispmath]r=2[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\mathrm{tg}\frac{-2}{0}=\infty=\frac{3\pi}{2}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)-64[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{3\pi+4k\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi+4k\pi}{6}\right)-64[/dispmath][dispmath]k=0,1,2.[/dispmath]

eseper je napisao:Hvala obojici Pada li vam možda napamet što bi me još moglo dopasti uz kompleksni? Znači, uvijek bude neki preduvjet za rješavanje samog zadatka, primjerice kao u ovom dobiti [inlmath]C[/inlmath], ili kao u ovom dobiti rješenje sustava... Uz dijeljenje, kao u zadatku poviše, može me još dopasti na primjer pomnožiti neke izraze ili možda potencirati, korjenovati... što bi se još moglo ubaciti u takav zadatak? Ima li ideja?

Ovo pitanje je teže i od najtežeg zadatka.

Šalu na stranu, vrlo je nezahvalno ovde nabrajati šta ti sve može pasti, jer možda ti mi ovde nabrojimo pet stvari a na ispitu ti dođe nešto šesto...

Najsigurnije ti je da pogledaš zadatke iz prethodnih rokova, mislim da će ti to biti najpouzdaniji odgovor na tvoje pitanje.

Možda Milovan ili još neko bude malo rečitiji,

ali od mene – toliko.

eseper je napisao:U međuvremenu evo sljedećeg na provjeru:
[dispmath]\left[z+\left(\sqrt{3}+i\right)^6\right]^3=\frac{(i-1)^4}{(i+1)^3+Im(i+1)^3}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath][z{\color{red}+}64]^3=\frac{-4}{2i}[/dispmath]

Umesto plusa treba minus, lepo si bio dobio da ti je [inlmath]\left(\sqrt 3+i\right)^6={\color{red}-}64[/inlmath], ali si ovde pogrešno uvrstio.

eseper je napisao:[inlmath][z+64]^3={\color{red}-}2i\quad /\sqrt[3]{}[/inlmath]

[inlmath]\frac{-4}{2i}=\frac{-2}{i}=\frac{-2}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{-2i}{i^2}=\frac{-2i}{-1}=2i[/inlmath]
Dakle, [inlmath]2i[/inlmath], bez minusa.

eseper je napisao:[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi={\color{red}\mathrm{tg}\frac{-2}{0}=\infty=\frac{3\pi}{2}}[/dispmath]

Već sam ti bio napisao da takve jednakosti nisu tačne, na šta si odgovorio Lako ćemo za to...

[inlmath]\phi\ne\frac{-2}{0}[/inlmath], tj. [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi\ne\mathrm{tg}\frac{-2}{0}[/inlmath] :!:

Pravilno je [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\Im\left(z\right)}{\Re\left(z\right)}[/inlmath], a ne [inlmath]\phi=\frac{\Im\left(z\right)}{\Re\left(z\right)}[/inlmath] :!:

Daniel je napisao:Najsigurnije ti je da pogledaš zadatke iz prethodnih rokova, mislim da će ti to biti najpouzdaniji odgovor na tvoje pitanje.

Sve sam pogledao i većinom rješio, samo uvijek se nešto novo pojavi. Zato sam i pitao ima li ko ideja

Nadam se da se nema što novog za izmisliti osim ovoga do sada

Što se tiče zadatka
Umjesto [inlmath]-[/inlmath] sam napisao [inlmath]+[/inlmath] u zadatku, tako da je točno:
[dispmath]\left[z-\left(\sqrt{3}+i\right)^6\right]^3=\frac{(i-1)^4}{(i+1)^3+\Im(i+1)^3}[/dispmath]
Pa je onda ipak točno
[dispmath][z+64]^3=2i[/dispmath]
bez minusa desno, to sam stvarno bio falio

Samim tim kut neće biti [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] nego [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]...

Daniel je napisao: Već sam ti bio napisao da takve jednakosti nisu tačne, na šta si odgovorio Lako ćemo za to...

Zaslužio sam :tuctuc:

Neće se ponoviti :mrgreen:

ej evo i mene malo
sve vas kužin <3
:lol:

eseper je napisao:Hvala obojici Pada li vam možda napamet što bi me još moglo dopasti uz kompleksni? Znači, uvijek bude neki preduvjet za rješavanje samog zadatka, primjerice kao u ovom dobiti C, ili kao u ovom dobiti rješenje sustava... Uz dijeljenje, kao u zadatku poviše, može me još dopasti na primjer pomnožiti neke izraze ili možda potencirati, korjenovati... što bi se još moglo ubaciti u takav zadatak? Ima li ideja?

Nisam baš pristalica tipskog razmišljanja pa ni ja neću biti rečitiji od Daniela, ali... U principu iz ove (kao i svake druge) oblasti možeš smisliti tonu atipičnih zadataka... Ako želiš, mogu da ti naređam niz takvih... No, kako se radi o gradivu za ispit najbolje da sam proceniš moguću širinu zahteva- kako i Daniel reče, pre svega na osnovu ranijih rokova. Neke jednostavnije zadatke za vežbu svakako možeš naći i na ovom potforumu (kompleksna analiza), pa proceni da li tu za tebe ima nečeg novog.

Ono što se može reći s velikom sigurnošću jeste to da se svi ti zadaci (nekad upakovani u složeniju formu) mogu svesti na nabrojano- na poznavanje operacija sa kompleksnim brojevima... Množenje, sabiranje, oduzimanje, deljenje, stepenovanje, prevođenje u trigonometrijsku, eksponencijalnu formu itd, itd. Dobar deo zadataka gde je nepoznato [inlmath]z[/inlmath] se u principu može rešiti smenom [inlmath]z=x+iy[/inlmath] i daljim pojednostavljenjem polaznog tvrđenja ili jednačine...

Dakle, sve da ti na ispitu daju zadatak sa kojim se do sada nisi sretao- principi za njegovo rešavanje su vrlo verovatno isti ili krajnje slični onim koje već poznaješ i svakako se u krajnjem smislu svode na baratanje sa osobinama kompleksnih brojeva.

Tako i sam razmišljam

U principu, uvijek se pojavi kompleksni u kojem najčešće treba srediti izraze, a potom ih grupirati i ako postoji, kao u onom sa [inlmath]C[/inlmath], rješiti neke uvjete, sustave i slično. Lani se, eto, pojavilo dijeljenje kompleksnih brojeva, a ovaj put bi moglo npr. množenje. Ali, praktički, ovi tipovi se rješavaju na istu shemu tako da ne može doći nešto lijevo

Ok, ajmo na sljedeći:
[dispmath]\frac{Qz^7+(1+i)z^5-\left(i+\sqrt{3}\right)z^2+\left(2\sqrt{3}i-2\right)z-\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}i-i}{2i^{5448}z^6}=1[/dispmath]

gdje je

[dispmath]Q= \frac{\cos\frac{19\pi}{12}-i\sin\frac{19\pi}{12}}{\cos\frac{13\pi}{12}-i\sin\frac{13\pi}{12}}[/dispmath]

[dispmath]Q=\cos\left(\frac{19\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{19\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i[/dispmath]
[dispmath]i^{5448}=i^0=1[/dispmath]
Ovako, ja neću pisati cijeli postupak sređivanja jer bi itekako potrajalo, pa to ostavljam dobrovoljcu. Što se mene tiče, nakon polusatnog sređivanja dobio sam sljedeće:
[dispmath]iz^5\left[z^2+2i+(1-i)\right]-\left(i+\sqrt{3}\right)\left[z^2{\color{red}-}2i+(1-i)\right]=0[/dispmath]
Minus mi je crven jer ni pod razno na to mjesto nisam mogao "staviti" plus (što bi trebalo da se taj izraz u uglatim zagradama može izlučiti, odnosno da se slaže s prvim izrazom u uglatim zagradama). Prekontrolirao sam 2 puta i jednostavno mislim da je to greška sastavljača. Zato sam i postavio zadatak ovdje...

Evo samo nekoliko izraza koji će se pojaviti, da olakšam onome ko bude rješavao:

* [dispmath]\frac{2\sqrt{3}i-2}{i+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}i-2}{i+\sqrt{3}} \frac{i-\sqrt{3}}{i-\sqrt{3}}=2i[/dispmath]
* [dispmath]\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}i+i}{i+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}i+i}{i+\sqrt{3}} \frac{i-\sqrt{3}}{i-\sqrt{3}}=1-i[/dispmath]

Prvo, u jednačini

eseper je napisao:[dispmath]iz^5\left[z^2+2i+(1-i)\right]-\left(i+\sqrt{3}\right)\left[z^2{\color{red}-}2i+(1-i)\right]=0[/dispmath]

na oba mesta gde stoji [inlmath]2i[/inlmath] fali ti još i [inlmath]z[/inlmath].

E sad, imaš grešku kod izračunavanja [inlmath]Q[/inlmath]. Prevideo si da u izrazu za [inlmath]Q[/inlmath],
[dispmath]Q=\frac{\cos\frac{19\pi}{12}{\color{red}-}i\sin\frac{19\pi}{12}}{\cos\frac{13\pi}{12}{\color{red}-}i\sin\frac{13\pi}{12}}[/dispmath]
i u brojiocu i u imeniocu imaš minuse. To znači da u tom izrazu ne smemo jednostavno da od argumenta koji se pojavljuje u brojiocu oduzmemo argument koji se pojavljuje u imeniocu, već taj izraz moramo napisati u takvom obliku gde će argument sinusa i kosinusa biti negativan:
[dispmath]Q=\frac{\cos\frac{-19\pi}{12}+i\sin\frac{-19\pi}{12}}{\cos\frac{-13\pi}{12}+i\sin\frac{-13\pi}{12}}[/dispmath]
i tek sada smemo da oduzmemo argumente, pa će [inlmath]Q[/inlmath] biti jednako
[dispmath]Q=\cos\left(\frac{-19\pi}{12}+\frac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{-19\pi}{12}+\frac{13\pi}{12}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}-i\sin\frac{\pi}{2}=-i[/dispmath]
Međutim, posle ove ispravke dobije se jednačina u kojoj problem predstavlja onaj slobodan član:
[dispmath]-\left(z^2-2iz-1+i\right)iz^5-\left(i+\sqrt 3\right)\left(z^2-2iz{\color{red}+}1{\color{red}-}i\right)=0[/dispmath]
Moguće da sam i ja nešto prevideo u računu, mada sam prešao ceo postupak nekoliko puta... Proveri da li si dobro prepisao taj deo zadatka...

U [inlmath]Q[/inlmath] je ipak plus (a na kraju je tako i izračunato). Totalno me izludio ovaj zadatak :besan:

pa sam vjerojatno zbog toga stavio i minus ovde na forumu. Stvarno se izvinjavam, ne trebaš sada računati, proći ću sutra opet sve po 4. put... :crazy:

eseper je napisao:U [inlmath]Q[/inlmath] je ipak plus (a na kraju je tako i izračunato). Totalno me izludio ovaj zadatak pa sam vjerojatno zbog toga stavio i minus ovde na forumu.

Misliš, valjda, obrnuto?

Ti si u izrazu za [inlmath]Q[/inlmath] izostavio minus, a ja sam ti pokazao da minus upravo i treba da stoji, tj. [inlmath]Q=-i[/inlmath]...
Ne znam da l' smo se dobro razumeli...

Ovako
[dispmath]Q=\frac{\cos\frac{19\pi}{12}+i\sin\frac{19\pi}{12}}{\cos\frac{13\pi}{12}+i\sin\frac{13\pi}{12}}[/dispmath]
što je [dispmath]\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i[/dispmath]

A, na taj plus si, znači, mislio... OK onda. :mhm:

Evo odradio sam sve još jednom, od samog početka (lakše mi je bilo u Latex-u nego na papiru), pa prilažem ovde i svoj postupak:
[dispmath]\frac{iz^7+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2+\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i}{2z^6}=1[/dispmath]
[dispmath]iz^7+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2+\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i=2z^6[/dispmath]
[dispmath]iz^7-2z^6+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2+\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i=0[/dispmath]
[dispmath]\left(z^2-\frac{2}{i}z+\frac{1+i}{i}\right)iz^5-\left(i+\sqrt 3\right)\left(z^2-\frac{2\sqrt 3i-2}{i+\sqrt 3}z+\frac{1+\sqrt 3-\sqrt 3i+i}{i+\sqrt 3}\right)=0[/dispmath]
[inlmath]-\frac{2}{i}=-\frac{2}{i}\cdot\frac{i}{i}=2i[/inlmath]

[inlmath]\frac{1+i}{i}=\frac{1+i}{i}\cdot\frac{i}{i}=-\left(-1+i\right)=1-i[/inlmath]

[inlmath]-\frac{2\sqrt 3i-2}{i+\sqrt 3}=-\frac{2\sqrt 3i-2}{i+\sqrt 3}\cdot\frac{i-\sqrt 3}{i-\sqrt 3}=-\frac{-8i}{-4}=-2i[/inlmath]

[inlmath]\frac{1+\sqrt 3-\sqrt 3i+i}{i+\sqrt 3}=\frac{1+\sqrt 3-\sqrt 3i+i}{i+\sqrt 3}\cdot\frac{i-\sqrt 3}{i-\sqrt 3}=\frac{-4+4i}{-4}=1-i[/inlmath]
[dispmath]\left(z^2+2iz+1-i\right)iz^5-\left(i+\sqrt 3\right)\left(z^2{\color{red}-}2iz+1-i\right)=0[/dispmath]
Obrni-okreni, dobija se taj neželjeni minus. :sad3:

Kanda je zaista greška u tekstu zadatka.

Hvala na postupku, znači... zadatak je izmišljen (nema ga ni u jednoj zbirci i sl.) pa je lako moguće da je tu došlo do greške... Dalje sam ga riješio kao da je umjesto tog minusa plus, pa se nekako i završi

Inače zadatak je s jesenskog roka prošle godine

eseper je napisao:zadatak je izmišljen

Nisam dosad čuo da postoji neki zadatak koji nije izmišljen. :mrgreen:

Svaki zadatak ima nekog svog autora koji ga je izmislio, bilo da je u pitanju zadatak iz zbirke, bilo s ispitnog roka.

Pa 'el uradio neko taj zadatak u tom jesenskom roku? :wtf:

Evo nekoliko mogućih načina da se, izmenom nekog znaka ili neke cifre, dođe do zadatka koji bi se dao rešiti:
[dispmath]\frac{Qz^7+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2{\color{red}-}\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i}{2i^{5448}z^6}=1[/dispmath]
[dispmath]\frac{Qz^7+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2+\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i}{2i^{5448}z^6}={\color{red}-}1[/dispmath]
[dispmath]\frac{Qz^7+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2+\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i}{{\color{red}-}2i^{5448}z^6}=1[/dispmath]
[dispmath]\frac{Qz^7+\left(1+i\right)z^5-\left(i+\sqrt 3\right)z^2+\left(2\sqrt 3i-2\right)z-\left(1+\sqrt 3\right)+\sqrt 3i-i}{2i^{544{\color{red}6}}z^6}=1[/dispmath]
Možda je u nekom od ovih znakova štamparska greška... :think1:

Naravno, ali krivo si me shvatio :lol:

Mislio sam na to da su ga moji asistenti izmišljali, jer danas se i u školama i na fakultetima masovno uzimaju svakakve zbirke i jednostavno se prekopira od nekih drugih ili trećih autora.

Dotičnoj osobi koja se jako potrudila ovo izmisliti, dogodilo se to već dva puta. Jedan takav zadatak je i postavljen na četvrtoj stranici.Time se zapravo želi razviti kod nas studenata smisao za "što bi bilo, kad bi bilo".

Tako da, sumnjam da je itko točno ovo rješio...

Sumnjam da je štamparska, ali nikad se ne zna... :roll:

Vratio bih se na ovaj zadatak

Kako oblik [dispmath]z=\frac{\sqrt[3]{8}+1}{\sqrt[3]{8}-1}[/dispmath] svesti na trigonometrijski oblik [dispmath]z=r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)[/dispmath]
Pretpostavljam, treba brojnik i nazivnik pošto nije moguća racionalizacija, i onda bi se dobilo dijeljenje kompleksnih brojeva?

Trigonometrijski oblik nekog kompleksnog broja, ako on nije dat kao proizvod ili količnik druga dva broja u trigonometrijskom obliku, možeš odrediti samo ako znaš njegov realni i imaginarni deo. U tom zadatku na koji si linkao dao sam postupak kojim se može naći realni i imaginarni deo tog izraza (ukupno tri rešenja), pa ih zatim možeš prevesti u trigonometrijski oblik. Samo, za drugo i treće rešenje ne dobiju se nimalo lepi oblici.

BTW, izraz [inlmath]\frac{\sqrt[3]8+1}{\sqrt[3]8-1}[/inlmath] je moguće racionalizovati koristeći identitet [inlmath]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/inlmath], samo, ne bi time ništa postigao...

Odrediti sve [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath] za koje vrijedi

[inlmath]Re\, z \cdot Im\, z = \sqrt{3}[/inlmath]
[inlmath]|z-1|+|z+1|=4[/inlmath]

Odakle početi?

Drugu jednadžbu sam rješio, i, ako je točno, ispalo mi je [inlmath]x^2+y^2=1[/inlmath]

Ako je [inlmath]z=x+iy[/inlmath]
Onda:
[dispmath]xy = \sqrt{3}[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{(x-1)^2 + y^2 } + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 4[/dispmath]
Resis sistem po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]...

eseper je napisao:Drugu jednadžbu sam rješio, i, ako je točno, ispalo mi je [inlmath]x^2+y^2=1[/inlmath]

Treba da se dobije [inlmath]3x^2+4y^2=12[/inlmath]. A onda u kombinaciji sa [inlmath]xy=\sqrt 3[/inlmath], tj. [inlmath]y=\frac{\sqrt 3}{x}[/inlmath], nije teško odrediti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]...

[dispmath]\left(\frac{i-1}{i+1}\right)^{200}\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2-\frac{11+i}{6-5i}\left(z^4-\sqrt{-1}\right)-i^{83}=0[/dispmath]
Zanima me samo rješenje ovog zadatka u trigonometrijskom zapisu. Nakon što sam sve sredio, dobio sam:
[dispmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2 -(1+i)\left(z^4-\sqrt{-1}\right)+i=0[/dispmath]
[dispmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2 -(1+i)\left(z^4-\sqrt{-1}\right)=-i[/dispmath]
I. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}-i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}- i}[/dispmath]
II. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}+1\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}+1}[/dispmath]

Kako si došao do [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath]? Jesi li radio tako što si uveo smenu [inlmath]z^4-\sqrt{-1}=t[/inlmath] pa [inlmath]t[/inlmath] napisao kao [inlmath]x+iy[/inlmath] i onda računao sistem od dve nepoznate po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]? Pitam čisto iz znatiželje, jer bih ja išao na taj način...

U [inlmath]I[/inlmath] imaš grešku u znaku:

eseper je napisao:I. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}-i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}-i}[/dispmath]

Treba
[dispmath]z^4=\sqrt{-1}{\color{red}+}i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}{\color{red}+}i}[/dispmath]
Sad, u ovom zadatku je dvosmisleno to što u izrazu figuriše [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], koje može imati dve vrednosti, [inlmath]\pm i[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]\sqrt{-1}=i[/inlmath], a sličan postupak bi bio i za [inlmath]\sqrt{-1}=-i[/inlmath].
[dispmath]z=\sqrt[4]{i+i}=\sqrt[4]{2i}=\sqrt[4]{2e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]2\sqrt[4]{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]2 e^{i\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath]
[dispmath]z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}+1}=\sqrt[4]{i+1}=\sqrt[4]{\sqrt 2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]{\sqrt 2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}=\sqrt[8]2\sqrt[4]{e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}\sqrt[8]2e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right)}[/dispmath]

[dispmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2 -(1+i)\left(z^4-\sqrt{-1}\right)=-i[/dispmath]
Odavde sam izlučio [inlmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)[/inlmath]

OK, i dobiješ ovo:
[dispmath](z^4-\sqrt{-1})\left(z^4-\sqrt{-1}-1-i\right)=-i[/dispmath]
Ali i dalje ne vidim šta posle toga primeniš.
Možda će se naći i još neko koga bi ovo interesovalo, pa ako možeš da daš još neka uputstva...

I onda sam to unutar I. i II. zagrade izjednačio sa [inlmath]-i[/inlmath] :mrgreen:

Obzirom da je ovaj zadatak iz jednog kolokvija u kojem su svi drugi zadaci bili jako komplicirani, možda je moguće da jednostavno treba ostaviti onako kako si ti napisao... sumnjam da su i tražili više

[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^6-2\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3+2=0,\quad Re\left(\frac{z+1}{z-1}\right)>0[/dispmath]
Vidia sam da je skoro indentičan zadatak riješen na drugoj stranici, ali ja ne razumin onaj broj [inlmath]e[/inlmath] i onda neke potencije na njega i to
:insane:

Mi smo samo u bilježnici zapisali
[inlmath]z=r(\cos\phi+i\sin\phi)=r\cdot e^{i\phi}[/inlmath]

Šta se tiče zadatka, nakon supstitucije
[inlmath]t_1=1+i[/inlmath]
[inlmath]t_2=1-i[/inlmath]

[inlmath]I)[/inlmath]

[inlmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=1+i[/inlmath]
[inlmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{1+i}[/inlmath]

E sad...

[dispmath]1+i=\sqrt 2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\right][/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left[\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right][/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{lll}
k=3m,m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & \sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right) \\
k=3m+1,m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & \sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right) \\
k=3m+2,m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & \sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}\right)
\end{array}[/dispmath]
Pošto je zadat uslov [inlmath]\Re\left(\frac{z+1}{z-1}\right)>0[/inlmath], otpadaju slučajevi [inlmath]k=3m+1[/inlmath] i [inlmath]k=3m+2[/inlmath], jer je tada kosinus (koji predstavlja realan deo) negativan; ostaje samo slučaj [inlmath]k=3m[/inlmath]:
[dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)[/dispmath]
[inlmath]\cos\frac{\pi}{12}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{\pi}{12}[/inlmath] računamo preko formule za polovinu ugla, pri čemu ispred korena uzimamo znak plus, budući da [inlmath]\frac{\pi}{12}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], pa su i kosinus i sinus tog ugla pozitivni:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt 3}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{2}=\frac{\frac{1+\sqrt 3}{\sqrt 2}}{2}=\frac{1+\sqrt 3}{2\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\cdots =\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{2}=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|}{2}=\frac{\frac{\sqrt 3-1}{\sqrt 2}}{2}=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[6]2\left(\frac{1+\sqrt 3}{2\sqrt 2}+i\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}\right)[/dispmath]
[dispmath]z+1=\frac{\sqrt[6]2}{2\sqrt 2}\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]\left(z-1\right)[/dispmath]
[dispmath]z+1=\frac{1}{\sqrt[3]{16}}\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]\left(z-1\right)[/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{16}z+\sqrt[3]{16}=\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]z-\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right][/dispmath]
[dispmath]\left[\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]z=\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)}\quad /\cdot\frac{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)-i\left(\sqrt 3-1\right)}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)-i\left(\sqrt 3-1\right)}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)-i\left(\sqrt 3-1\right)\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)+\left(\sqrt 3-1\right)^2}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)^2+\left(\sqrt 3-1\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\left(1+\sqrt 3\right)^2-\sqrt[3]{256}+i\left(\sqrt 3-1\right)\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}-1-\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+4-2\sqrt 3}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)^2+\left(\sqrt 3-1\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
Ako imaš živaca, možeš dalje da nastaviš da sređuješ ovo čudovište... U svakom slučaju, ne dobije se nimalo lep rezultat.

Naravno, posle još i za slučaj [inlmath]t_2=1-i[/inlmath]...

Jebenica.
Tenks a lot!

Ja ću stat na trećem redu od iza, i malo zapinjem u svaćanju ovoga >>>
Minus je radi toga šta [inlmath]\sqrt 3-1[/inlmath] ipak daje pozitivno, pa radi toga ne treba biti plus?

Daniel je napisao:[dispmath]\frac{\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|}{2}=\frac{\frac{\sqrt 3-1}{\sqrt 2}}{2}[/dispmath]

Isto tako mi nije jasno u tim linijama kad računamo poluvični kut kad se u nazivniku doda [inlmath]\sqrt2[/inlmath]

blake je napisao:Minus je radi toga šta [inlmath]\sqrt 3-1[/inlmath] ipak daje pozitivno, pa radi toga ne treba biti plus?

Nisam siguran da sam dobro razumeo tvoje pitanje, ali pokušaću...
Minus je radi toga što u formuli za sinus polovine ugla imamo minus (kao što u formuli za kosinus polovine ugla imamo plus):
[dispmath]\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1{\color{red}-}\cos\alpha}{2}},\quad\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1{\color{red}+}\cos\alpha}{2}}[/dispmath]
Međutim, pošto je u našem konkretnom primeru [inlmath]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{12}[/inlmath], a znamo da su i [inlmath]\sin\frac{\pi}{12}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{\pi}{12}[/inlmath] veći od nule, u oba slučaja umesto onog [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena uzimamo samo plus.
Možda te zbunjuje apsolutna vrednost?
[dispmath]\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt 3}{2}}{2}}=[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}{4}}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{\sqrt 4}=[/dispmath]
pa onda, koristeći jednakost [inlmath]\sqrt{x^2}\mathop=^{\mathrm{def}}\left|x\right|[/inlmath]
[dispmath]=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|}{2}=\frac{\left|1-\sqrt 3\right|}{2\sqrt 2}=[/dispmath]
i, pošto je [inlmath]1-\sqrt 3[/inlmath] manje od nule, radi oslobađanja od apsolutne vrednosti stavimo minus ispred njega:
[dispmath]=\frac{-\left(1-\sqrt 3\right)}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}[/dispmath]

blake je napisao:Isto tako mi nije jasno u tim linijama kad računamo poluvični kut kad se u nazivniku doda [inlmath]\sqrt2[/inlmath]

Ni ovo pitanje baš ne shvatam... Potrudi se, :please:

, da postavljaš pitanja malo jasnije... Dvojka u imeniocu, i to pod korenom, sastavni je deo formule za sinus ili kosinus polovine ugla:
[dispmath]\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{\color{red}2}},\quad\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{\color{red}2}}[/dispmath]
ako je to bilo to što si pitao...

Pa citira sam samo dio sa apsolutnim zagradama, kako se ne skuži :insane:

Šta se tiče dodavanja [inlmath]\sqrt2[/inlmath]
To je ovaj korak >>>

Daniel je napisao:...[dispmath]=\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}{4}}=...[/dispmath]

Možda bolje da mi ne kažeš još, sutra možda skužin :ghh:

A, to... Ma reći ću ti odma'...

Pretpostavimo da se [inlmath]2-\sqrt 3[/inlmath] može napisati kao kvadrat nekog binoma. To bi nam bilo pogodno, kako bi se taj kvadrat kratio s korenom. Neka je taj binom [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath]. Cilj nam je, naravno, da odredimo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
[dispmath]\left(a-b\right)^2=2-\sqrt 3[/dispmath]
[dispmath]a^2+b^2-2ab=2-\sqrt 3[/dispmath]
Celobrojni deo grupišemo sa [inlmath]a^2+b^2[/inlmath], a iracionalni deo, tj. [inlmath]\sqrt 3[/inlmath], grupišemo sa [inlmath]2ab[/inlmath]:
[dispmath]a^2+b^2=2[/dispmath]
[dispmath]2ab=\sqrt 3[/dispmath]
Iz druge jednačine:
[dispmath]b=\frac{\sqrt 3}{2a}[/dispmath]
pa to uvrstimo u prvu:
[dispmath]a^2+\left(\frac{\sqrt 3}{2a}\right)^2=2[/dispmath]
[dispmath]a^2+\frac{3}{4a^2}=2\quad /\cdot 4a^2[/dispmath]
[dispmath]4\left(a^2\right)^2-8a^2+3=0[/dispmath]
[dispmath]\left(a^2\right)_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{4-3}}{2}=\frac{2\pm 1}{2}[/dispmath]
[dispmath]\left(a^2\right)_1=\frac{1}{2},\quad\left(a^2\right)_2=\frac{3}{2}[/dispmath]
[dispmath]a_1=\pm\frac{1}{\sqrt 2},\quad a_2=\pm\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}[/dispmath]
Potpuno je svejedno koju ćemo od ove dve vrednosti uzeti za [inlmath]a[/inlmath], jer ako za [inlmath]a[/inlmath] uzmemo npr. [inlmath]\frac{1}{\sqrt 2}[/inlmath], za [inlmath]b[/inlmath] ćemo dobiti [inlmath]\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}[/inlmath] i obratno; ako za [inlmath]a[/inlmath] uzmemo jedan predznak, za [inlmath]b[/inlmath] ćemo dobiti da ima isti taj predznak, tj. proizvod će im biti pozitivan.
Znači, traženi kvadrat binoma je
[dispmath]2-\sqrt 3=\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2[/dispmath]

Pošto smo ovde imali minus u izrazu [inlmath]2-\sqrt 3[/inlmath], logično je da smo tražili kvadrat binoma oblika [inlmath]\left(a-b\right)^2[/inlmath], dakle, isto s minusom. Da smo imali [inlmath]2+\sqrt 3[/inlmath], tražili bismo kvadrat binoma oblika [inlmath]\left(a+b\right)^2[/inlmath].
Ne bi bila greška ni da smo za [inlmath]2-\sqrt 3[/inlmath] tražili kvadrat binoma oblika [inlmath]\left(a+b\right)^2[/inlmath] (s plusom), tada bismo za jedan od sabiraka [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] dobili da je pozitivan, a za drugi da je negativan, tako da bi njihov proizvod bio negativan.

MATEMANIJA

Kompleksne jednadžbe

Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Kompleksne jednadžbe

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz

Re: Srediti izraz