MATEMANIJA

Ako su [inlmath]a,b,z\in\mathbb{C}[/inlmath] i [inlmath]|z|=1[/inlmath] dokazati:
[dispmath]\left|\frac{a\cdot z+b}{\overline{b}\cdot z+\overline{a}}\right|=1[/dispmath]
Hvala unapred

Pozdrav, super je što koristiš Latex, ali bih te zamolio da obratiš pažnju i na ostale tačke Pravilnika foruma. Mislim, konkretno, na tačku 6.

Ovaj zadatak ti je najlakše da radiš tako što svaki od ovih kompleksnih brojeva napišeš u eksponencijalnom obliku, npr. [inlmath]a=\left|a\right|e^{i\alpha}[/inlmath]. Slično i za [inlmath]z[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath].

Biće potrebno i da tokom postupka iskoristiš sledeće osobine kompleksnih brojeva:
[dispmath]\left|z_1\cdot z_2\right|=\left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right|[/dispmath][dispmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}[/dispmath][dispmath]\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2}[/dispmath][dispmath]\left|\overline z\right|=\left|z\right|[/dispmath]

Moram da te zamolim za malu dopunu. Nisam jos uvek ucio eksponencijalni (trigonometrijski) oblik komplesnih brojeva, ali je ocigledno vreme da naucim Evo dokle sam stigao:
[dispmath]=\left|\frac{|a|\cdot e^{i\cdot(\alpha+\gamma)}+|b|\cdot e^{i\cdot\beta}}{|b|\cdot e^{i\cdot(\gamma-\beta)}+|a|\cdot e^{-i\cdot\alpha}}\right|[/dispmath]
Samo sam zamenio sve

Jel moze ovako da se nastavi:
[dispmath]\left|e^{i\cdot\gamma}\frac{\left|a\right|\cdot e^{i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{i\cdot(\beta-\gamma)}}{\left|a\right|\cdot e^{-i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{-i\cdot(\beta-\gamma)}}\right|=\left|e^{i\cdot\gamma}\right|\frac{\left|\left|a\right|\cdot e^{i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{i\cdot(\beta-\gamma)}\right|}{\left|\left|a\right|\cdot e^{-i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{-i\cdot(\beta-\gamma)}\right|}=[/dispmath]
Posto su imenilac i brojilac oblika [inlmath]\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|[/inlmath], njihovi moduli su jednaki i onda je:
[dispmath]=\left|e^{i\cdot\gamma}\right|[/dispmath]
Ako je tacno ovo sto napisah, zasto je ovo na kraju [inlmath]=1[/inlmath] ?

Jel bi ovako islo:
[inlmath]z=\left|z\right|\cdot e^{i\gamma}[/inlmath] i onda je [inlmath]\left|e^{i\gamma}\right|=\left|\frac{z}{\left|z\right|}\right|=\left|\frac{z}{1}\right|=\left|z\right|=1[/inlmath]
P.S. Pisao sam u vise post-ova jer ne znam kako da izmenim. Bio bih zahvalan ukoliko mi neko otkrije kako se to radi

Upravo tako.
Dakle, svi kompleksni brojevi oblika [inlmath]e^{i\varphi}[/inlmath] imaju vrednost modula [inlmath]1[/inlmath], nezavisno od vrednosti ugla [inlmath]\varphi.[/inlmath].
Možeš to i ovako posmatrati:
[dispmath]e^{i\gamma}=1\cdot e^{i\gamma}[/dispmath]
i, ako to uporediš s eksponencijalnim oblikom u opštem slučaju, [inlmath]\left|z\right|e^{i\varphi}[/inlmath], tačno vidiš da je [inlmath]\left|z\right|=1[/inlmath].

P.S. Postove je moguće menjati, ali samo u prvih pet minuta nakon objavljivanja posta.

Molim vas, da li je ovo tačno:

Odredi apsolutnu vrednost od [inlmath]z[/inlmath] ako je [inlmath]z=(3-i)^3(5-i)^4[/inlmath]
[dispmath]|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\
|z|=|3-i|^3|5-i|^4=\left(\sqrt{3^2+1^2}\right)^3\left(\sqrt{5^2+1^2}\right)^4=\left(\sqrt{10}\right)^3\left(\sqrt{26}\right)^4=10\sqrt{10}\cdot676=6760\sqrt{10}[/dispmath]