MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Da li postoji kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] koji nije realan takav da su brojevi [inlmath]z^{15}-\frac{1}{z^{15}}[/inlmath], [inlmath]\quad z^3-\frac{1}{z^3}\quad[/inlmath] i [inlmath]\quad z^{2014}-\frac{1}{z^{2014}}[/inlmath] realni?
Imam zvanicno resenje, ali zanima me da li zadatak moze da se resi na sledeci nacin:
[dispmath]\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{\left|z\right|^2}[/dispmath][dispmath]z^3-\frac{1}{z^3}=z^3-\frac{\overline z^3}{\left|z\right|^6}=\frac{z^3\cdot\left|z\right|^6-\overline z^3}{\left|z\right|^6}=\frac{\left|z\right|^3\cdot(\cos3\alpha+i\cdot\sin3\alpha)\cdot\left|z\right|^6-\left|z\right|^3\cdot(\cos3\alpha-i\cdot\sin3\alpha)}{\left|z\right|^6}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left|z\right|^6\cdot i\sin3\alpha+i\sin3\alpha=0[/dispmath][dispmath]\sin3\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^6+1=0[/dispmath]
Na isti nacin se dobija:
[dispmath]\sin15\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^{30}+1=0[/dispmath][dispmath]\sin2014\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^{4028}+1=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sin3\alpha=0\quad\land\quad\sin15\alpha=0\quad\land\quad\sin2014\alpha=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\alpha=0[/dispmath]
Sto je u suprotnosti sa cinjenicom da je [inlmath]z[/inlmath] kompleksan broj koji nije realan.

Dakle, jel moze da prodje ovo resenje ili...?

Sasvim OK postupak, po meni. Doduše, uz malu ispravku da u poslednjem koraku treba da se dobije [inlmath]\alpha=k\pi[/inlmath] a ne [inlmath]\alpha=0[/inlmath], tj. brojevi koji zadovoljavaju te tri jednačine mogu biti i pozitivni i negativni realni brojevi a ne samo pozitivni, ali to u svakom slučaju ne menja suštinu, tj. da ti brojevi moraju biti realni.

Interesovalo bi me na koji način je rađeno u tom zvaničnom rešenju? Ja bih radio vrlo slično kao i ti, samo za nijansu drugačije – da prvo izraz napišem u obliku jednog razlomka, [inlmath]\frac{z^6-1}{z^3}[/inlmath], zatim brojilac i imenilac pomnožim konjugovano-kompleksnom vrednošću imenioca radi dobijanja realne vrednosti u imeniocu, tj. [inlmath]\frac{\overline z^3\left(z^6-1\right)}{\left|z^6\right|}[/inlmath]. Izmnožim članove u brojiocu i dalje radim sve isto kao što si već pokazao...

Hvala na odgovoru. Zadatak je sa republickog takmicenja (II razred). Njihovo resenje je sledece:
"Primetimo da je kompleksan broj [inlmath]t[/inlmath] realan ako i samo ako je [inlmath]t=\overline t[/inlmath]. Zato za [inlmath]t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}[/inlmath] vazi:
[dispmath]t-\frac{1}{t}\in\mathbb{R}\quad\Leftrightarrow\quad t-\frac{1}{t}=\overline{t-\frac{1}{t}}[/dispmath]
Kako je:
[dispmath]t-\frac{1}{t}=\overline{t-\frac{1}{t}}\quad\Leftrightarrow\quad t-\frac{1}{t}=\overline{t}-\overline{\frac{1}{t}}\quad\Leftrightarrow\quad t-\overline{t}-\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{\overline{t}}\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(t-\overline{t}\right)\left(1+\frac{1}{\left|t\right|^2}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/dispmath]
To su dati brojevi realni ako i samo ako vazi [inlmath]z^{15},z^3,z^{2014}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath]. Medjutim, tada je i broj [inlmath]z=\frac{z^{2014}}{z^{3(671)}}[/inlmath] realan, pa ne postoji broj [inlmath]z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}[/inlmath] sa trazenom osobinom.