MATEMANIJA

Pozdrav, interesuje me kako se dolazi do resenja ovog zadatka:
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2006}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2006}[/dispmath]
Krenuo sam nesto da radim preko Moavrovog obrasca i dobijem ovakav izraz:
[dispmath]2^{2006}\cdot\left(\cos2006\frac{11\pi}{6}-\sin2006\frac{11\pi}{6}\right)+2^{2006}\cdot\left(\cos2006\frac{\pi}{6}+\sin2006\frac{\pi}{6}\right)[/dispmath]
Ponudjeni ogovori su:
[dispmath]2,\;2^{2006},\;2^{2007},\;-2^{2006}i,\;-2^{2006}[/dispmath]
Pokusao sam i sa onom varijantom da izraz stavim na kvatrat pa da dobijem
[dispmath]\left(\left(\sqrt3i-1\right)^2\right)^{1003}[/dispmath]
opet mi ne ispadne kao u resenju.

Ne treba ti Moavrova formula (BTW nisi je dobro ni napisao ). Umesto toga, uočiš pravilnost:
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^2=-2-2\sqrt3i=-2\left(1+\sqrt3i\right)\\
\left(\sqrt3i-1\right)^3=\left(\sqrt3i-1\right)^2\left(\sqrt3i-1\right)=-2\left(1+\sqrt3i\right)\left(\sqrt3i-1\right)=2^3[/dispmath] I onda [inlmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2006}[/inlmath] napišeš kao
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2006}=\left(\sqrt3i-1\right)^{2004+2}=\left(\sqrt3i-1\right)^{3\cdot668+2}=\left[\left(\sqrt3i-1\right)^3\right]^{668}\left(\sqrt3i-1\right)^2=\cdots[/dispmath] Zatim isto to uradiš i za [inlmath]\left(\sqrt3i+1\right)^{2006}[/inlmath]...

Aaa, tako treba. Hvala ti.

@Anonimo,
Danielovo rešenje je realno najbrže i najelegantnije.
Ja ponavljam njegovu sugestiju da ti ne treba Moavrova (Moivre) formula.
Ove godine bih na prijemnom očekivao stepen [inlmath]2015[/inlmath].
Tako da sam "smislio" zadatak (pod znacima navoda, jer samo promenih godinu):
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2015}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2015}[/dispmath]
Kada bi nam ti ovo uradio, mnogo bi pomogao drugima a i sebi. No to nije tvoja obaveza, to je stvar tvoje dobre volje.
Koliko ja pratim prijemne ispite, ovaj tvoj zadatak je iz 2006

[dispmath]\eqalign{
& \left(\sqrt3i-1\right)^{2006}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2006}=\cr
& \left(1-\sqrt3i\right)^{2006}+\left(1+\sqrt3i\right)^{2006}=\cr
& \Bigg(2\left({1\over2}-{\sqrt3\over2}i\right)\Bigg)^{2006}+\Bigg(2\left({1\over2}+{\sqrt3\over2}i\right)\Bigg)^{2006}=\cr
& \left(2e^{i\left(-{\pi\over3}\right)}\right)^{2006}+\left(2e^{i\left({\pi\over3}\right)}\right)^{2006}\cr}[/dispmath]

@bobanex, sve se to može i rečima iskazati, jednostavnije je nego pisati sve te formule.

Biću slobodan da rečima interpretiram ideju koju si izložio. Može se, dakle, raditi i prebacivanjem kompleksnih brojeva u eksponencijalni oblik, nakon čega će biti potrebno primeniti formulu [inlmath]\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-x}\right)=\cos x[/inlmath]. Dobiće se kosinus fine vrednosti, koju lako izračunamo.

Moguće je zadatak uraditi i preko Moavrove formule, pri čemu će se na kraju kratiti imaginarni (sinusni) sabirci i ostaće samo realan deo...

desideri je napisao:Tako da sam "smislio" zadatak (pod znacima navoda, jer samo promenih godinu):
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2015}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2015}[/dispmath]
Kada bi nam ti ovo uradio, mnogo bi pomogao drugima a i sebi. No to nije tvoja obaveza, to je stvar tvoje dobre volje.
Koliko ja pratim prijemne ispite, ovaj tvoj zadatak je iz 2006

Jeste. Evo sad cu da probam da uradim i da ispisem sve u LaTeX-u.

Evo:
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2015}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2015}[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^2=-2\left(1+\sqrt3i\right)[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^3=-2\left(1+\sqrt3i\right)\left(\sqrt3i-1\right)=2^3[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i+1\right)^2=-2\left(1-\sqrt3i\right)[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i+1\right)^3=-2\left(1-\sqrt3i\right)\left(\sqrt3i+1\right)=-2^3[/dispmath]
I kada se sve sredi:
[dispmath]\big(\left(\sqrt3i-1\right)\big)^{2013+2}+\big(\left(\sqrt3i+1\right)\big)^{2013+2}[/dispmath]
[dispmath]\left(\left(\sqrt3i-1\right)^3\right)^{671}\left(\sqrt3i-1\right)+\left(\left(\sqrt3i+1\right)^3\right)^{671}\left(\sqrt3i+1\right)[/dispmath][dispmath]2^{2013}\left(\sqrt3i-1\right)-2^{2013}\left(\sqrt3i+1\right)[/dispmath][dispmath]2^{2013}\left(\cancel{\sqrt3i}-1\cancel{-\sqrt3i}-1\right)[/dispmath][dispmath]-2^{2014}[/dispmath]
Sad vidim da imam gresku, izostavio sam kvadrat u drugom delu, opet radim drugi deo zadatka.

Evo ispravke:
[dispmath]2^{2013}\left(\left(\sqrt3i-1\right)^2-\left(\sqrt3i+1\right)^2\right)[/dispmath]
Kada se skrati ovo sto je u zagradi dobija se
[dispmath]-4\sqrt3i[/dispmath]
Pa je to na kraju:
[dispmath]2^{2013}\cdot\left(-4\sqrt3i\right)=-2^{2015}i\sqrt3[/dispmath]
Sigurno sam nesto zeznuooo. Cudno mi ovo resenje...

Nisi ništa zeznuooo, to je to. Samo pazi na prijemnom da ne zaboraviš da prepišeš tako neke kvadrate ili neku sličnu glupost.

E super, valjda mi se nece desiti neka tako glupa greska kao ovde. Dok sam pisao u LaTeX-u vise sam paznje obracao na to da ispratim zagrade i sve ostale znakove i prativsi to desilo se da izostavim taj kvatrat.

@Anonimo,
veliki thanks za tvoj trud. Ovo će koristiti ljudima, veruj mi. A u vezi s ovim:

Anonimo je napisao:E super, valjda mi se nece desiti neka tako glupa greska kao ovde.

Naravno da neće. Na prijemnom imaš papir, olovku i tri sata rada i provere.
A ti si odmah uočio grešku, ispravio je i to uz sve ovo kuckanje u Latexu