MATEMANIJA

Ako je [inlmath]z+\frac{1}{z}=1[/inlmath] onda je [inlmath]z^{2013}+\frac{1}{z^{2013}}[/inlmath] .Sta se radi ovde,probao sam da nadjem [inlmath]z[/inlmath] iz prve jednacine, ali ne moze?

Pogledaj da l' bi ti ovaj zadatak mogô biti od pomoći.

Mislim da je njega zbunilo to sto nije uocio da se prosirivanjem jednacine sa [inlmath]z[/inlmath] dobija kvadratna jednacina.

Mozda kasni odgovor, al racunam nije na odmet za druge
Ovaj zadatak je bio 2013 na MATF-u na prijemnom inace, a ja sam probao da ga uradim primenom Moavrove formule:
[dispmath]z=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}[/dispmath]
iz ovoga sledi [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath] i naravno [inlmath]b=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]
[dispmath]\rho=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1[/dispmath][dispmath]\phi=\text{tg}\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}{2}}=\text{tg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]z^{2013}=1^{2013}\left(\cos2013\cdot\frac{\pi}{3}+i\sin2013\cdot\frac{\pi}{3}\right)[/dispmath][dispmath]z^{2013}=(\cos671\pi+i\sin671\pi)[/dispmath][dispmath]z^{2013}=-1+0[/dispmath][dispmath]z^{2013}=-1[/dispmath][dispmath]z^{2013}+\frac{1}{z^{2013}}=-1+\left(\frac{1}{-1}\right)=-1-1=-2[/dispmath]

JohnLocke je napisao:[dispmath]\phi=\text{tg}\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}{2}}=\text{tg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}[/dispmath]

Ovde treba na oba mesta umesto tangensa da stoji arkus tangens.

Ostalo je sve OK.

dakle formula je za
[dispmath]\phi=\text{arctg}\frac{b}{a}[/dispmath]
provere radi

da za [inlmath]z=a+b\cdot i[/inlmath]
[inlmath]r=\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath]
i [inlmath]\phi=\text{arctg}\frac{b}{a}[/inlmath]
a još možemo reći i da je [inlmath]b=r\sin\phi[/inlmath] i [inlmath]a=r\cos\phi[/inlmath]

Formula [inlmath]\varphi=\text{arctg}\frac{b}{a}[/inlmath] važi samo onda kada je realni deo, [inlmath]a[/inlmath], veći od nule (kao što je u ovom zadatku bio slučaj).

Za slučaj kada je realni deo manji od nule, pogledati ovaj post.