MATEMANIJA

Naleteo sam na jedan zadatak ali nekako nije mi jasno sta da radim sa njim.
[dispmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{11}=\left(-i\right)^{\frac{11}{2}}=\left(-i\right)^{\frac{3}{2}}[/dispmath]
trazi se
[dispmath]z+\bar z[/dispmath]
sada ako ja dobro znam ovo to bih mogao da sredim na
[dispmath]z+\bar z=a+bi+a-bi=2a[/dispmath]
po mom rezultatu gore domija se samo [inlmath]b[/inlmath] a ne [inlmath]a[/inlmath]. Verujem da nije tezak samo treba uociti sta treba da se uradi.

Ja bih to radio svođenjem na trigonometrijski oblik (uočiš da je [inlmath]\frac{1}{\sqrt2}=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{\sqrt2}=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath]) i, zatim, upotrebom Moavrove formule.

Ne znam na osnovu čega si zaključio da se po tvom rezultatu dobija samo [inlmath]b[/inlmath]?

Nisam jos radio trigonometrijski oblik kompleksnog broja (cak nije ni predvidjen programom za IV godinu) tako da nisam bas upoznat sa Moavrovim formulama
Postoji li neki drugi nacin?
dobija se [inlmath]a=0[/inlmath] po mom a resenje treba da bude [inlmath]-\sqrt2[/inlmath]

Herien Wolf je napisao:Nisam jos radio trigonometrijski oblik kompleksnog broja (cak nije ni predvidjen programom za IV godinu)

Neverovatno, zaista... Totalno nam prosveta otišla u Honduras...

Elem, uočio si da je [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2=-i[/inlmath]. Čemu je onda jednako [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^8[/inlmath]?
Nakon toga, odredi [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{11}[/inlmath] kao [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{8+2+1}[/inlmath].

Herien Wolf je napisao:dobija se [inlmath]a=0[/inlmath] po mom a resenje treba da bude [inlmath]-\sqrt2[/inlmath]

Ovo si naknadno dopisao, pa naknadno i odgovaram.
Da, dobije se rezultat [inlmath]-\sqrt2[/inlmath], a ovo za [inlmath]a=0[/inlmath] i dalje ne razumem. Ako te interesuje u čemu grešiš i želiš da ti nađemo grešku, molim te, napiši postupak.

[dispmath]z+\bar z=a+bi+a-bi=2a\\
z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{11}=\left(\frac{1-2i-1}{2}\right)^{\frac{11}{2}}=\left[\left(-i\right)^{11}\right]^{\frac{1}{2}}=\left(-i\right)^{\frac{3}{2}}\;\Rightarrow\;a=0[/dispmath]
Sigurno postoji negde greska, sad cu da probam na onaj nacin kako si predlozio

Izvinjenje za dupli post ali mi nije prikazivalo dugme izmeni za prethodni.
[dispmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{11}=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{8+2+1}=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^8\cdot\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2\cdot\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^1=\left(-i\right)^4\cdot\left(-i\right)\cdot\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)\\
=-i\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)=\frac{-i-1}{\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i\;\Rightarrow\;a=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;2a=-\sqrt2[/dispmath]
[inlmath]z+\bar z=-\sqrt2[/inlmath] sada je tacno

Jeste, sada je tačno.

Što se tiče onog prvog načina,

Herien Wolf je napisao:[dispmath]\cdots=\left(-i\right)^{\frac{3}{2}}\;\Rightarrow\;a=0[/dispmath]

Ja i dalje ne vidim na osnovu čega si zaključio da je u izrazu [inlmath]\left(-i\right)^{\frac{3}{2}}[/inlmath] realni deo jednak nuli.
Kod izraza [inlmath]-i[/inlmath] realni deo jeste jednak nuli, ali kod izraza [inlmath]\left(-i\right)^{\frac{3}{2}}[/inlmath] realni deo nije jednak nuli.

I, još jedna napomena,

Herien Wolf je napisao:[dispmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{11}=\left(\frac{1-2i-1}{2}\right)^{\frac{11}{2}}=\cdots[/dispmath]

Kompleksni broj [inlmath]z[/inlmath] nikad nemoj pisati kao [inlmath]\left(z^2\right)^{\frac{1}{2}}[/inlmath]. Jer to je onda jednako [inlmath]\sqrt{z^2}[/inlmath], a kvadratno korenovanje u kompleksnom domenu ne daje jednoznačno određenu vrednost, već daje dve moguće vrednosti, tako da si ovde od jedne vrednosti izraza dobio dve moguće.
Ovime na kraju dobijaš [inlmath]\left(-i\right)^{\frac{3}{2}}[/inlmath], što daje vrednost [inlmath]-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], ali takođe daje i vrednost [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. Za ovu prvu vrednost dobio bi tačan rezultat, [inlmath]-\sqrt2[/inlmath], ali za ovu drugu vrednost dobio bi [inlmath]\sqrt2[/inlmath], što ne bi bio tačan rezultat.