MATEMANIJA

Zbir resenja jednacine:
[dispmath]x-\frac{2}{x}=i[/dispmath]
kvadriram prvo
[dispmath]x^2-2\cdot x\cdot\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=-1[/dispmath][dispmath]x^2+\frac{4}{x^2}-3=0[/dispmath]
onda mnozim sa [inlmath]x^2[/inlmath]
[dispmath]x^4-3x^2+4=0[/dispmath]
smena [inlmath]t=x^2[/inlmath]
[dispmath]t^2-3t+4=0[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
ali dobije se jednacina ova sa "[inlmath]t[/inlmath]" koja nema resenja
gde gresim?

Nisam racunao ali, ne vidim razlog sto kazes da nema resenja ?
Mozda nema realnih ali kompleksna resenja postoje.
[dispmath]t=\frac{- b\pm\sqrt D}{2a}[/dispmath]

[dispmath]t^2-3t+4=0[/dispmath][dispmath]t_1=\frac{3+\sqrt{9-16}}{2}=\frac{3+\sqrt{-7}}{2}=\frac{3+i\sqrt7}{2}[/dispmath][dispmath]t_2=\frac{3-\sqrt{9-16}}{2}=\frac{3-\sqrt{-7}}{2}=\frac{3-i\sqrt7}{2}[/dispmath]
Ovo su kompleksna rešenja kvadratne jednačine. Vraćanjem u smenu dobija se:
[dispmath]x_1=\sqrt\frac{3+i\sqrt7}{2}[/dispmath][dispmath]x_2=-\sqrt\frac{3+i\sqrt7}{2}[/dispmath][dispmath]x_3=\sqrt\frac{3-i\sqrt7}{2}[/dispmath][dispmath]x_4=-\sqrt\frac{3-i\sqrt7}{2}[/dispmath]
To su sva rešenja jednačine koju si napisala.

Ne vidim kakve veze ova jednačina ima s iracionalnim brojevima, pa sam prepravio naslov u „Kompleksna jednačina“.

JohnLocke je napisao:[dispmath]x-\frac{2}{x}=i[/dispmath]
kvadriram prvo
[dispmath]x^2-2\cdot x\cdot\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=-1[/dispmath]

Ovde je greška. Kvadriranjem se gubi informacija o znaku leve i desne strane. Nakon kvadriranja dobio si istu jednačinu koju bi dobio i da je polazna jednačina glasila [inlmath]\displaystyle x-\frac{2}{x}=-i[/inlmath].
Zbog toga dalji postupak vodi ka dobijanju četiri rešenja, umesto dva koliko treba da ih se dobije. Ispravna rešenja su [inlmath]\displaystyle x_{1,2}=\frac{i\pm\sqrt7}{2}[/inlmath].

Umesto kvadriranja, obe strane polazne jednačine [inlmath]\displaystyle x-\frac{2}{x}=i[/inlmath] pomnoži sa [inlmath]x[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath].

---

Uroš je napisao:[dispmath]t_1=\frac{3+\sqrt{9-16}}{2}=\frac{3+\sqrt{-7}}{2}=\frac{3+i\sqrt7}{2}[/dispmath][dispmath]t_2=\frac{3-\sqrt{9-16}}{2}=\frac{3-\sqrt{-7}}{2}=\frac{3-i\sqrt7}{2}[/dispmath]

Preporučujem izbegavanje ovakvog načina izvlačenja [inlmath]i[/inlmath] ispred korena, budući da (ovo je dosta česta greška) [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije isto što i [inlmath]i[/inlmath], već je [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. A iz [inlmath]i^2=-1[/inlmath] sledi [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath]. Zato bi [inlmath]\displaystyle\frac{3+\sqrt{-7}}{2}[/inlmath] trebalo pisati kao [inlmath]\displaystyle\frac{3\pm i\sqrt7}{2}[/inlmath]. Isto tako i [inlmath]\displaystyle\frac{3-\sqrt{-7}}{2}[/inlmath].
Međutim, ovde ionako imamo dva rešenja koja se međusobno razlikuju po predznaku korena, tako da to i nema mnogo uticaja. Ali, bilo bi korektnije onda oba ta rešenja pisati u sklopu jednog izraza:
[dispmath]t_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{-7}}{2}=\frac{3\pm i\sqrt7}{2}[/dispmath]
i nikakva greška onda time nije napravljena.

Naravno, ovo nije u vezi sa samim ovim zadatkom, jer se zadatak, kô što rekoh, radi drugačijim putem, al' ovo napominjem uopšteno.

Neobican zadatak, nikad mi ne bi palo na pamet da mnozim sa [inlmath]x[/inlmath]
hvala sve u svemu

[dispmath]x-\frac{2}{x}=i\\
x^2-ix-2=0\\
x_1+x_2=i[/dispmath]
Zašto uopšte rešavamo jednačinu kada nam ne trebaju rešenja već njihov zbir?

Zanimljivo, niko od nas nije ni procitao da se trazi zbir resenja koji je mogao odmah da se odredi preko vietovih formula. Dobro vezbali smo malo

@Daniel Hvala!