MATEMANIJA

Pozdrav svima.

Evo zadatka iz najnovije "Tangente" (T82), oko kojeg mi je potrebna pomoć:

[inlmath]M1357.[/inlmath] Kompleksni brojevi koji zadovoljavaju uslov
[dispmath]\Re\left(\frac{(1+i)z^2+2-2i}{3+2i}\right)=\Im\left(\frac{(1+i)z^2+2-2i}{3+2i}\right)=1[/dispmath]
čine temena jednakostraničnog trougla. Odrediti treće teme trougla koje se nalazi u četvrtom kvadrantu.

Ja sam iskoristio dati uslov i zadatak radio ovako:
[dispmath]z=x+iy\\
\Re\left(\frac{x^2+2ixy-y^2+ix^2-2xy-iy^2+2-2i}{3+2i}\right)=1[/dispmath]
Nakon racionalisanja (množenja brojioca i imenioca) izrazom [inlmath]3-2i[/inlmath], sledi
[dispmath]\Re\left(\frac{3x^2+6ixy-3y^2+3ix^2-6xy-3iy^2+6-6i-2ix^2+4xy+2iy^2+2x^2+4ixy-2y^2-4i-4}{13}\right)=1\\
=\Im\left(\frac{3x^2+6ixy-3y^2+3ix^2-6xy-3iy^2+6-6i-2ix^2+4xy+2iy^2+2x^2+4ixy-2y^2-4i-4}{13}\right)[/dispmath]
Dobija se sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, koji izgleda ovako:
[dispmath]5x^2-5y^2-2xy+1=0\\
x^2-y^2+10xy-11=0[/dispmath]
Pomnožio sam prvu jednačinu sa pet i dodao je drugoj, a zatim sam pomnožio drugu jednačinu sa minus pet i dodao je prvoj. Dobio sam:
[dispmath]13x^2-13y^2-3=0\\
52xy=56[/dispmath]
Izražavanjem nepoznate [inlmath]x[/inlmath] iz prve jednačine ([inlmath]x=\sqrt\frac{13y^2+3}{13}[/inlmath]) i ubacivanjem te nepoznate u drugu jednačinu, dobio sam:
[dispmath]\sqrt\frac{13y^3+3y^2}{13}=\frac{56}{52}=\frac{14}{13}[/dispmath]
Kvadridanjem ove jednakosti, dobio sam bikvadratnu jednačinu:
[dispmath]169y^4+39y^2-196=0[/dispmath]
Uvođenjem smene [inlmath]y^2=t[/inlmath], dobija se
[dispmath]169t^2+39t-196=0[/dispmath][dispmath]t_{(1/2)}=\frac{-39\pm\sqrt{1521+132496}}{338}=\frac{-39\pm\sqrt{134017}}{338}[/dispmath]
Ovde sam se zakopao i potrebna mi je pomoć.

[dispmath]\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2+i2xy-y^2+ix^2-2xy-iy^2+2-2i}{3+2i}=1+i\\
\cdots\\
-x^2+y^2+2xy=1\\
x^2-y^2+2xy=7\\
\cdots\\
x^2-\frac{4}{x^2}-3=0
\end{array}[/dispmath]

Uroš je napisao:[dispmath]\Re\left(\frac{3x^2+6ixy-3y^2+3ix^2-6xy-3iy^2+6-6i-2ix^2+4xy+2iy^2+2x^2+4ixy-2y^2-4i-4}{13}\right)=1\\
=\Im\left(\frac{3x^2+6ixy-3y^2+3ix^2-6xy-3iy^2+6-6i-2ix^2+4xy+2iy^2+2x^2+4ixy-2y^2-4i-4}{13}\right)[/dispmath]
Dobija se sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, koji izgleda ovako:
[dispmath]5x^2-5y^2-2xy+1=0\\
x^2-y^2+10xy-11=0[/dispmath]

Ovde imaš grešku, treba da se dobije sistem
[dispmath]5x^2-5y^2-2xy-11=0\\
x^2-y^2+10xy-23=0[/dispmath]
mada ti je lakše da radiš ovako kako ti je bobanex pokazao.