MATEMANIJA

Zadatak: Pronaći uglove od [inlmath]z[/inlmath] ako je [inlmath]z^3=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^5[/inlmath].
[dispmath]z^3=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^5\\
z^3=\left(\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}\right)^5\\
z^3=i^5=i\\\
\\\
\left|z\right|=1[/dispmath]
Kada nacrtam u koordinatni dobijam da je prvi ugao [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], međutim u rješenju stoji da je [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath], zašto?

Kako dobiti ostala dva ugla ?

Pa prvo bi trebalo da izracunas sve brojeve [inlmath]z[/inlmath] (kojih ce biti tri, jer je zadato [inlmath]z^3[/inlmath]) - veoma slicno kao u ovoj tvojoj temi. Zatim ih ucrtas i ocitas uglove (nisam nesto upoznat sa tim racunanjem uglova za kompleksne brojeve, tj. nisam radio ovakve zadatke, pa mozda ovaj postupak i nije dobar).

[dispmath]\omega_1=1\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}[/dispmath]
Dobijam da je ugao [inlmath]\phi=\frac{\pi }{3}[/inlmath].

Ovo nije tačno rješenje, gdje griješim?
Naravno trebam još 2 ugla izračunati, ali i prvi sam pogriješila, pa može li mi neko reći gdje?

dobila si dobro
[inlmath]z=a+b\cdot i[/inlmath]
pa iz
[dispmath]\omega_1=1\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}[/dispmath]
prema izrazu [inlmath]\phi=\text{arctg}\frac{b}{a}[/inlmath] slijedi da je
[dispmath]\phi=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
što i jeste jedno od rješenja
ostala rješenja su
[dispmath]\omega_2=1\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\cdot\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\\
\phi=\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
i
[dispmath]\omega_3=1\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-i\\
\phi=-\frac{\pi}{2}[/dispmath]

p.s. kako se računa ugao [inlmath]\phi[/inlmath] kad je realni dio manji od nule ili jednak nuli možeš vidjeti ovdje
i srećan praznik

@samobeze
Do rešenja koja ti je bole napisao dolaziš tako što [inlmath]z^3=i[/inlmath] napišeš u trigonometrijskom obliku (da li znaš kako broj [inlmath]i[/inlmath] glasi u trigonometrijskom obliku?), a zatim primeniš formulu za korenovanje u trigonometrijskom obliku,
[dispmath]z=\left|z\right|\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,2,\ldots,n-1[/dispmath]
Doduše, ovime se kao treće rešenje ne dobije [inlmath]\varphi=-\frac{\pi}{2}[/inlmath], već [inlmath]\varphi=\frac{3\pi}{2}[/inlmath]. To je vrednost koja se od [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] razlikuje za [inlmath]2\pi[/inlmath], tj. za pun krug, što u kompleksnoj ravni dođe na isto.

Imao bih pitanje – da li možda u zadatku koji si postavila u ovoj temi treba da umesto [inlmath]w=−2−3i[/inlmath] bude [inlmath]w=−2−{\color{red}2}i[/inlmath] ili [inlmath]w=−{\color{red}3}−3i[/inlmath]? U bilo kom od ta dva slučaja, taj zadatak bi bio mnogo lakši za rešavanje i dobila bi se „lepša“ rešenja, a i ova tema bi bila u direktnoj vezi s tim zadatkom.

Podsetio bih te i da ti je ovde postavljeno jedno pitanje na koje se čeka tvoj odgovor.

Izvinjavam se što nisam odmah odgovorila.
Ne, trbe da bude [inlmath]-2-3i[/inlmath].