MATEMANIJA

Drugi pokusaj, tek sam od danas aktivan na ovom forumu pa mi je pisanje formula jos uvek strano, dakle pitanje je isto, imam dat kompleksni broj
[dispmath]Z=3-4i[/dispmath]
i treba da ga prebacim u trigonometrijski oblik, a za to mi je neophodno da odredim ugao alpha, a on se racuna iz formule za tangens, i to ja uradim, ali ne mogu da izvucem koliko iznosi taj ugao s'obzirom da je
[dispmath]\text{tg }x=\frac{-4}{3}[/dispmath]
a odavde ne mogu da izracunam koliko iznosi ugao u radijanima

Nek se neko sazali na mene, nov sam

Pozdrav, novi, i dobro došao. Sve je OK, sasvim se lepo snalaziš s Latexom, a i pitanje si fino postavio.
Nažalost, ne mogu ti na to dati neki mnogo koristan odgovor – vrednost koja se u ovom slučaju dobija za tangens nije neka od karakterističnih, tako da ti ne preostaje ništa drugo nego da to ostaviš u tom obliku. Dakle, [inlmath]\varphi=-\text{arctg }\frac{4}{3}+2k\pi[/inlmath]. I to je to, nema dalje.
Eventualno, jedino da pomoću kalkulatora ili tablica aproksimativno nađeš vrednost za [inlmath]\text{arctg }\frac{4}{3}[/inlmath], ali čisto sumnjam da tako nešto traže od vas.

Da li je ovo deo nekog zadatka (ako jeste, možda bi nam pomoglo ako bi ga postavio celog), ili ovo pitaš čisto teoretski?

Hvala puno na odgovoru, nisam ulazio od tada na sajt, pogresno sam procitao zadatak, pa sam ga zatim uradio lako, hvala

Pozdrav hteo bih da se nadovezem na zadatak posto vidim da je pitanje koje sam hteo da postavim vec postavljano.

Daniel je napisao:Da li je ovo deo nekog zadatka (ako jeste, možda bi nam pomoglo ako bi ga postavio celog), ili ovo pitaš čisto teoretski?

Zadatak glasi odredi kvadratni koren broja [inlmath]Z=3-4i[/inlmath]

Da bi izracunao kvadratni koren kompleksnog broja moram da ga prebacim u trigonometrijski oblik
i imam problema sa [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] i kao sto vec "politicar123" rece ne mogu da odredim ugao u radijanima.

politicar123 je napisao:treba da ga prebacim u trigonometrijski oblik, a za to mi je neophodno da odredim ugao alpha, a on se racuna iz formule za tangens, i to ja uradim, ali ne mogu da izvucem koliko iznosi taj ugao s'obzirom da je
[dispmath]\text{tg }x=\frac{-4}{3}[/dispmath]
a odavde ne mogu da izracunam koliko iznosi ugao u radijanima

Daniel je napisao:Nažalost, ne mogu ti na to dati neki mnogo koristan odgovor – vrednost koja se u ovom slučaju dobija za tangens nije neka od karakterističnih, tako da ti ne preostaje ništa drugo nego da to ostaviš u tom obliku. Dakle, [inlmath]\varphi=-\text{arctg }\frac{4}{3}+2k\pi[/inlmath]. I to je to, nema dalje.
Eventualno, jedino da pomoću kalkulatora ili tablica aproksimativno nađeš vrednost za [inlmath]\text{arctg }\frac{4}{3}[/inlmath], ali čisto sumnjam da tako nešto traže od vas.

Ako ostavljam [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] takav kakav je kako da odredim kvadratni koren od broja kasnije?

Inace taj ugao trazim tako sto nadjem [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] i preko tablice vidim njihove vrednosti za odredjene uglove. Napomena: Zadatak je iz zbirke za prijemni ispit FTN-a i posto spremam prijemni(gde nije dozvoljeno koriscenje kalkulatora)molio bih za objasnjenje koje ne ukljucuje kalkulator.Hvala na svim dosadasnjim odgovorima mnogo su mi pomogli .

Batonja je napisao:

Daniel je napisao:Da li je ovo deo nekog zadatka (ako jeste, možda bi nam pomoglo ako bi ga postavio celog), ili ovo pitaš čisto teoretski?

Zadatak glasi odredi kvadratni koren broja [inlmath]Z=3-4i[/inlmath]

E, pa tako, sad je sve mnogo jasnije (uzgred, moram ipak da zamerim politicaru123 što nije priložio ceo tekst zadatka, onako kako je tačkom 11. Pravilnika i predviđeno, kao i što mi nije malo podrobnije odgovorio kad sam pitao da li je u pitanju deo nekog konkretnog zadatka).

Ne, ovo se ne radi preko trigonometrijskog oblika. Kvadratni koren broja [inlmath]3-i4[/inlmath] biće neki kompleksni broj [inlmath]x+iy[/inlmath], i tada će važiti
[dispmath]\left(x+iy\right)^2=3-i4[/dispmath]
Sredi se jednačina, izjednače se realni i imaginarni delovi i dobije se jednostavan sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
Naravno, rešavanjem tog sistema dobiju se dva moguća rešenja, [inlmath]-2+i[/inlmath] i [inlmath]2-i[/inlmath], jer kvadratni koren kompleksnog broja i daje dva rešenja.

Kako se kompleksan broj [inlmath]z=\sin\alpha+i\cos\alpha[/inlmath] pretvara u trigonometrijski oblik? Ovde je [inlmath]\text{tg }\varphi=\text{ctg }\alpha[/inlmath], ne znam sta iz toga da zakljucim...

To što si (bez LaTex-a, moram da konstatujem) napisao je deo trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja. Nedostaje ti moduo kompleksnog broja. Dakle ako hoćeš da algebarski zapis ([inlmath]z=x+yi[/inlmath]) prevedeš u trigonometrijski ([inlmath]z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)[/inlmath]), potrebni su ti moduo i argument. Moduo kompleksnog broja ([inlmath]\left|z\right|[/inlmath] ili [inlmath]\rho[/inlmath]) predstavlja zapravo udaljenost kompleksnog broja od koordinatnog početka, i računa se kao [inlmath]\rho=\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath]. I po fizičkom smislu (udaljenost) i po formuli, jasno je da moduo ne može da bude negativan. Argument kompleksnog broja ([inlmath]\varphi[/inlmath]) je ugao koji zaklapaju linija koja spaja kompleksni broj sa koordinatnim početkom (negde se naziva poteg) i pozitivni deo [inlmath]x[/inlmath] ose. Ako ovo predstaviš u kompleksnoj ravni, videćeš da dobijaš pravougli trougao čija je hipotenuza [inlmath]\left|z\right|[/inlmath], a katete su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz algebarskog zapisa (ovo takođe i objašnjava formulu za [inlmath]\left|z\right|[/inlmath]). Iz ovog trougla kod kog su ti poznate sve tri strane i jedan (prav) ugao, lako možeš da nađeš ugao koji ti treba iz definicije tangensa. Biće ti očigledno i zašto uz realan deo ([inlmath]x[/inlmath] osa) ide [inlmath]\cos\varphi[/inlmath], a uz imaginarni ([inlmath]y[/inlmath] osa) [inlmath]\sin\varphi[/inlmath].

Da li je trigonometrijski oblik onda [inlmath]z=\sin\alpha+i\cos\alpha[/inlmath], posto je [inlmath]\rho=1[/inlmath]? Zbunjuje me to sto [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] treba da bude imaginaran deo, a [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] realan, a ovde to nije slucaj.

@miletrans, ja sam ovo pitanje razumeo tako da je kompleksni broj baš zadat u tom obliku, [inlmath]z=\sin\alpha+i\cos\alpha[/inlmath], i da je potrebno za takav oblik naći odgovarajući trigonometrijski oblik. @Igore, molim za potvrdu.

U tom slučaju, kako je miletrans i objasnio, moduo će biti jednak jedinici. Naime, iz zadatog oblika vidimo da je realni deo [inlmath]x=\sin\alpha[/inlmath], a imaginarni [inlmath]y=\cos\alpha[/inlmath], pa modul dobijamo kao [inlmath]\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\sqrt{1}=1[/inlmath].

Međutim, [inlmath]z=\sin\alpha+i\cos\alpha[/inlmath] ne može biti trigonometrijski oblik, jer kod trigonometrijskog oblika u realnom delu treba da se nalazi kosinus, a u imaginarnom sinus. U ovom zapisu je obrnuto. Ali, od ovakvog zapisa se može lako doći do trigonometrijskog oblika ako se iskoriste veze sinusa i kosinusa [inlmath]\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)[/inlmath] i [inlmath]\cos\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)[/inlmath].

Tako je, @Daniele, to sam hteo da mi potvrdite. I ja sam veze sinusa i kosinusa video kao mogućnost. Inače, ovo je samo deo nekog zadatka, gde mi je potrebno da, između ostalog, nađem [inlmath]z^n[/inlmath]. A za to je potrebno prevođenje u trigonometrijski oblik. Hvala