MATEMANIJA

Treba mi mala pomoć sa zadatkom.
Zadatak glasi: ako je [inlmath]z=\frac{\sqrt3-i}{1-i}[/inlmath], odrediti [inlmath]\text{Re}(z)[/inlmath], [inlmath]\text{Im}(z)[/inlmath], [inlmath]|z|[/inlmath] i [inlmath]\arg(z)[/inlmath].
Realni i imaginarni dio sam odredio: [inlmath]\text{Re}(z)=\frac{\sqrt3+1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\text{Im}(z)=\frac{\sqrt3-1}{2}[/inlmath].
Moduo je [inlmath]|z|=\sqrt2[/inlmath].

Ali nisam uspio odrediti argument.
Ako pokušam preko [inlmath]\text{arctg }\frac{x}{y}[/inlmath] dobijem [inlmath]2+\sqrt3[/inlmath], ali ne znam kako da odredim taj ugao.

Ova tri rešenja koja si napisao su tačna. Što se tiče argumenta, napravio si lapsus, argument je [inlmath]\text{arctg }\frac{y}{x}[/inlmath] (tangens je količnik naspramne katete, u ovom slučaju [inlmath]y[/inlmath] i nalegle katete, u ovom slučaju [inlmath]x[/inlmath]). Kada uvrstiš svoja rešenja, dobiješ da je tangens argumenta [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath]. E, sad, pošto ovo nije tangens nekog "lepog" ugla čiju vrednost znamo iz tablica, zaista ne vidim kako bi mogao da izračunaš arkustangens bez primene kalkulatora. Ono što možemo da zaključimo je da će se ovaj broj nalaziti u prvom kvadrantu, pošto su i sinus i kosinus njegovog argumenta pozitivni. Po meni, potpuno legitimno rešenje ovog zadatka bi bilo [inlmath]\phi=\text{arctg}\left(2-\sqrt3\right)+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath].

Da, u pravu si. Slučajno sam napisao [inlmath]\text{arctg }\frac{x}{y}[/inlmath].

Pa taj argument mi treba, jer treba da izracunam [inlmath]z^{12}[/inlmath]. Pomocu kalkulatora se dobije da je to ugao [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath]
Dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos5\pi+\sin5\pi)[/inlmath]
Jesam li dobro uradio?

Argument broja [inlmath]z[/inlmath] nađeš tako što u izrazu [inlmath]z=\frac{\sqrt3-i}{1-i}[/inlmath] odrediš argument brojioca i argument imenioca, a zatim ih oduzmeš jer je u pitanju deljenje kompleksnih brojeva.
Treba da dobiješ [inlmath]\arg(z)=\frac{\pi}{12}[/inlmath] (ne [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath] kao što ti je kalkulator rekao).

U pravu si. Ja sam pogrijesio, jer sam uvrštavao pogrešnu vrijednost argumenta (onu u kojoj sam pogrijesio znak).
Sad sam i ja pomoću kalkulatora dobio [inlmath]\arg(z)=\frac{\pi}{12}[/inlmath].
To znači da ni stepen nije dobar. Dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos\pi+\sin\pi)[/inlmath]

Zapravo, dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos\pi+{\color{red}i}\sin\pi)[/inlmath]. Mada, ta greška i nema uticaja, budući da je [inlmath]\sin\pi[/inlmath] ionako jednak nuli.
I, kad umesto [inlmath]\cos\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-1[/inlmath] a umesto [inlmath]\sin\pi[/inlmath] nulu, dobiješ [inlmath]z^{12}=-64[/inlmath], što je tačno rešenje.
Slučajno se potrefilo da bi i [inlmath]64(\cos5\pi+i\sin5\pi)[/inlmath] takođe dalo tačno rešenje [inlmath]-64[/inlmath], to je zbog toga što [inlmath]12.[/inlmath] koren nekog kompleksnog broja daje [inlmath]12[/inlmath] mogućih rešenja, što znači da postoje [inlmath]12[/inlmath] različitih kompleksnih vrednosti koje dignute na [inlmath]12.[/inlmath] stepen daju istu kompleksnu vrednost, a među tih [inlmath]12[/inlmath] različitih kompleksnih vrednosti upravo su [inlmath]\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)[/inlmath] i [inlmath]\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)[/inlmath].

---

Inače, ako i dobiješ da je [inlmath]\text{tg }\varphi=2-\sqrt3[/inlmath] a nemaš drugog načina da odrediš vrednost [inlmath]\varphi[/inlmath], možeš pokušati i ovako. Skiciraš na trigonometrijskoj funkciji vrednost ovog tangensa, koji približno iznosi [inlmath]0,3[/inlmath], videćeš da on odgovara nekom dosta malom uglu, manjem i od [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Zato je dobra ideja potražiti tangens dvaput većeg ugla i videti da li ćeš time možda dobiti tangens nekog od karakterističnih uglova:
[dispmath]\text{tg }2\varphi=\frac{2\text{ tg }\varphi}{1-\text{tg}^2\varphi}=\cdots=\frac{\sqrt3}{3}[/dispmath] odakle se vidi da je [inlmath]2\varphi=\frac{\pi}{6}[/inlmath], tj. da je [inlmath]\varphi=\frac{\pi}{12}[/inlmath].

U Latexu umesto sin i cos piši \sin i \cos (s backslashom).