MATEMANIJA

Pozdrav
Zadatak glasi ovako:
Resiti jednacinu po [inlmath]Z[/inlmath] :
[dispmath]Z^3=\overline{Z}[/dispmath] "Prebacim" u trigonometrijski oblik prema moavrovoj formuli ali ne znam kako da resim jednacinu, tj. ne znam ni da li je to ispravan put.

Ja sam krenuo ovako:
[dispmath]\rho^3(\cos3x+i\sin3x)=\rho(\cos x-i\sin x)\\\
\\\
\rho^3(\cos3x+i\sin3x)-\rho(\cos x-i\sin x)=0\\
\rho\cdot\Bigl[\rho^2(\cos3x+i\sin3x)-(\cos x-i\sin x)\Bigr]=0\\
\rho=0\quad\lor\quad\rho^2(\cos3x+i\sin3x)-(\cos x-i\sin x)=0[/dispmath] Dalje ne znam...
Hvala unapred

Ja bih ovo radio pomalo "divljački", ali legitimno. Dakle, pošto treba da nađeš treći stepen kompleksnog broja, iskoristiš [inlmath]\left(x+yi\right)^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i[/inlmath]. Dalje ti je jasno, realni deo izjednačiš sa realnim, imaginarni sa imaginarnim...

Čisto računski, dobićeš da je jedno od rešenja [inlmath]x=0;\;y=0[/inlmath], to je upravo i ovo [inlmath]\rho=0[/inlmath] koje si i ti dobio.

Pretpostavljam da ovo može da se uradi elegantnije što bi rek'o moj profa iz fizike u gimnaziji, ali ovo radi. Naravno, da je u pitanju [inlmath]56[/inlmath]-ti stepen stvari bi bile "malo" teže.

Molim te nemoj da shvatiš ovo kao "soljenje pameti", ali uobičajeno je da se za kompleksne brojeve koristi malo [inlmath]z[/inlmath].

A možeš i da primijetiš da je [inlmath]\rho^3=\rho[/inlmath] pa je [inlmath]\rho=0[/inlmath], ili [inlmath]\rho=1[/inlmath]
Isto se lako uočava da je [inlmath]3x=-x+2k\pi[/inlmath], pa je [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath]

Što znači da su rješenja: [inlmath]0,1,-1,i,-i[/inlmath]

mala_mu je napisao: Isto se lako uočava da je [inlmath]3x=-x+2k\pi[/inlmath], pa je [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath]

Što znači da su rješenja: [inlmath]0,1,-1,i,-i[/inlmath]

Kako smo ovo uocili?
Ako moze postupak

Vrlo jednostavno, tj. prosto

Posmatramo [inlmath]\rho^3(\cos3x+i\sin3x)=\rho(\cos x-i\sin x)[/inlmath]

Kako je [inlmath]\overline{z}=\rho(\cos x-i\sin x)=\rho\bigl(\cos(-x)+i\sin(-x)\bigr)[/inlmath] to je [inlmath]\arg\overline{z}=-x[/inlmath] sa desne strane, analogno i za lijevu

Uporedjivanjem argumenata na lijevoj i desnoj strani imamo [inlmath]3x=-x+2k\pi[/inlmath] (moramo dodati period)
Isto tako, upoređivanjem modula sa lijeve i desne strane je [inlmath]\rho^3=\rho[/inlmath]

Pa je jedno od rjesenja, npr. [inlmath]z_0=1\cdot(\cos0+i\sin0)=1+i\cdot0=1[/inlmath]
Za [inlmath]k=4[/inlmath] rješenja se ponavljaju, a za [inlmath]\rho=0[/inlmath] rješenje je [inlmath]0[/inlmath]

Hvala puno na objasnjenju!