MATEMANIJA

Kompleksnih brojeva [inlmath]z=x+iy,\;x,y\in\mathbb{R},\;i^2=-1[/inlmath], koji su konjugovani svom kvadratu (tj za koje vazi jednakost [inlmath]\overline z=z^2[/inlmath]) ima tacno:

Hajde, za početak, ako je [inlmath]z=x+iy[/inlmath], da li znaš čemu je jednako [inlmath]\overline z[/inlmath] i čemu je jednako [inlmath]z^2[/inlmath]?

[dispmath]\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2002}=\left(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right)^{1001}=\left(\left(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{1-i^2}\right)^2\right)^{1001}=[/dispmath][dispmath]=\left(\left(\frac{\cancel 1+i+i+\cancel{\enclose{circle}{i^2}^{-1}}}{4}\right)^2\right)^{1001}=\left(\left(\frac{2i}{4}\right)^2\right)^{1001}=\left(\frac{4\enclose{circle}{i^2}^{-1}}{16}\right)^{1001}[/dispmath]
evo ovaj, da li moze ovako i pretpostavljam da sam napravio gresku jer ne mogu da dobijem celobrojno resenje?

Da, napravio si grešku u koraku
[dispmath]\left\{\left[\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{1-i^2}\right]^2\right\}^{1001}=\left[\left(\frac{1+i+i+i^2}{4}\right)^2\right]^{1001}[/dispmath]
[inlmath]1-i^2[/inlmath] u imeniocu nije [inlmath]4[/inlmath], već [inlmath]2[/inlmath].
A što se tiče brojioca, nisi morao da množiš član po član... Mogao si samo da primeniš formulu za kvadrat binoma, [inlmath]\left(1+i\right)^2=1+2i+i^2=2i[/inlmath].

[dispmath]\left[\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right]^{1001}[/dispmath]
Šta to nije
[dispmath]\left [\frac{(1+i)^2}{(1-i)^2} \right ] ^{1001}[/dispmath][dispmath]\left (\frac{1+2i-1}{1-2i-1} \right ) ^{1001}[/dispmath][dispmath](-1)^{1001}[/dispmath]

Može i tako, dabome. Načina kol'ko voliš...

A što se prvog tiče izjednačiš:
[dispmath]x-iy=(x+iy)^2[/dispmath][dispmath]x-iy=x^2+2ixy-y^2[/dispmath][dispmath]x^2+2ixy-y^2-x+iy=0[/dispmath][dispmath]x^2-x-y^2+i(2xy+y)=0[/dispmath]
Zatim izjednačiš sa nulom i imaginarni i realni deo:
[dispmath]x^2-x-y^2=0[/dispmath][dispmath]2xy+y=0[/dispmath]
Itd...

Šta treba dalje?

Iz druge jednačine imaš dve opcije: ili je [inlmath]y=0[/inlmath] ili je [inlmath]2x+1=0[/inlmath], odnosno [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath]....
Vratiš to u prvu jednačinu, dobiješ vrednost druge promenljive i to je to...

Kompleksan broj [inlmath]\left(1+i\sqrt 3\right)^9+\left(\sqrt 3-i\right)^9,\;i=\sqrt{-1}[/inlmath], jednak je: