MATEMANIJA

Kompleksnih brojeva [inlmath]z=x+iy,\;x,y\in\mathbb{R},\;i^2=-1[/inlmath], koji su konjugovani svom kvadratu (tj za koje vazi jednakost [inlmath]\overline z=z^2[/inlmath]) ima tacno:

Hajde, za početak, ako je [inlmath]z=x+iy[/inlmath], da li znaš čemu je jednako [inlmath]\overline z[/inlmath] i čemu je jednako [inlmath]z^2[/inlmath]?

[dispmath]\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2002}=\left(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right)^{1001}=\left(\left(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{1-i^2}\right)^2\right)^{1001}=[/dispmath][dispmath]=\left(\left(\frac{\cancel 1+i+i+\cancel{\enclose{circle}{i^2}^{-1}}}{4}\right)^2\right)^{1001}=\left(\left(\frac{2i}{4}\right)^2\right)^{1001}=\left(\frac{4\enclose{circle}{i^2}^{-1}}{16}\right)^{1001}[/dispmath]
evo ovaj, da li moze ovako i pretpostavljam da sam napravio gresku jer ne mogu da dobijem celobrojno resenje?

Da, napravio si grešku u koraku
[dispmath]\left\{\left[\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{1-i^2}\right]^2\right\}^{1001}=\left[\left(\frac{1+i+i+i^2}{4}\right)^2\right]^{1001}[/dispmath]
[inlmath]1-i^2[/inlmath] u imeniocu nije [inlmath]4[/inlmath], već [inlmath]2[/inlmath].
A što se tiče brojioca, nisi morao da množiš član po član... Mogao si samo da primeniš formulu za kvadrat binoma, [inlmath]\left(1+i\right)^2=1+2i+i^2=2i[/inlmath].

[dispmath]\left[\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right]^{1001}[/dispmath]
Šta to nije
[dispmath]\left [\frac{(1+i)^2}{(1-i)^2} \right ] ^{1001}[/dispmath][dispmath]\left (\frac{1+2i-1}{1-2i-1} \right ) ^{1001}[/dispmath][dispmath](-1)^{1001}[/dispmath]

Može i tako, dabome. Načina kol'ko voliš...

A što se prvog tiče izjednačiš:
[dispmath]x-iy=(x+iy)^2[/dispmath][dispmath]x-iy=x^2+2ixy-y^2[/dispmath][dispmath]x^2+2ixy-y^2-x+iy=0[/dispmath][dispmath]x^2-x-y^2+i(2xy+y)=0[/dispmath]
Zatim izjednačiš sa nulom i imaginarni i realni deo:
[dispmath]x^2-x-y^2=0[/dispmath][dispmath]2xy+y=0[/dispmath]
Itd...

Šta treba dalje?

Iz druge jednačine imaš dve opcije: ili je [inlmath]y=0[/inlmath] ili je [inlmath]2x+1=0[/inlmath], odnosno [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath]....
Vratiš to u prvu jednačinu, dobiješ vrednost druge promenljive i to je to...

Kompleksan broj [inlmath]\left(1+i\sqrt 3\right)^9+\left(\sqrt 3-i\right)^9,\;i=\sqrt{-1}[/inlmath], jednak je:

smAshh je napisao:Kompleksan broj [inlmath]\left(1+i\sqrt 3\right)^9+\left(\sqrt 3-i\right)^9,\;i=\sqrt{-1}[/inlmath], jednak je:

Transformiši u trigonometrijski oblik, primeni Moavrovu formulu i odmah dolaziš do rešenja.

Inače, ovo je vrlo poznata greška koja se čak i u boljoj literaturi, nažalost, vrlo često pojavljuje:

smAshh je napisao:[inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath]

Ne, imaginarna jedinica [inlmath]i[/inlmath] ne definiše se kao [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], već se definiše izrazom [inlmath]i^2=-1[/inlmath].

hvala... taj koren me je zbunio...

Ako je [inlmath]f(n)=\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^n[/inlmath] izracunati [inlmath]f(2013)[/inlmath]

Imaš grešku u postavci, u izrazu za funkciju [inlmath]f\left(n\right)[/inlmath] nigde ti se ne pojavljuje [inlmath]n[/inlmath].

ispravio sam

Isto kao i u prethodnom zadatku, transformišeš [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^n[/inlmath] u trigonometrijski oblik, pri čemu se [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] krati, zatim primeniš Moavrovu formulu – to sve, pretpostavljam, znaš ako si uradio prethodni zadatak.
I onda za [inlmath]f\left(2013\right)[/inlmath] dobiješ izraz [inlmath]\cos\frac{2013\pi}{4}-i\sin\frac{2013\pi}{4}[/inlmath]. Možda te taj deo buni. (Mada, opet, kažem, nagađam, jer nisi napisao šta ti u ovom zadatku predstavlja problem.) Pošto je period sinusne i kosinusne funkcije [inlmath]2\pi[/inlmath], onda razlomak [inlmath]\frac{2013\pi}{4}[/inlmath] treba da napišeš u obliku [inlmath]2k\pi+[/inlmath](pa razlomak s nekim manjim brojevima). Konkretno,
[dispmath]\frac{2013\pi}{4}=\frac{\left(2008+5\right)\pi}{4}=\frac{\left(2008+5\right)\pi}{4}=502\pi+\frac{5\pi}{4}=2\cdot 251\pi+\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
Pošto je
[dispmath]\cos\left[2\cdot 251\pi+\frac{5\pi}{4}\right]=\cos\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
i
[dispmath]\sin\left[2\cdot 251\pi+\frac{5\pi}{4}\right]=\sin\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
izraz za vrednost tražene funkcije svodi se na
[dispmath]f\left(2013\right)=\cos\frac{5\pi}{4}-i\sin\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
a to dalje znaš kako da nađeš... Dobije se [inlmath]-\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath].

a moze li da se radi bez transformisanja u trig. oblik?

Možda i može, tako što nađeš [inlmath]\left(1-i\right)^2[/inlmath], pa [inlmath]\left(1-i\right)^3[/inlmath], pa [inlmath]\left(1-i\right)^4[/inlmath] itd. i uočiš neku pravilnost po kojoj možeš zaključiti i koliko je [inlmath]\left(1-i\right)^{2013}[/inlmath], posle čega još to podeliš sa [inlmath]\left(\sqrt 2\right)^{2013}[/inlmath]... Nisam isprobao, samo pretpostavljam. Eto, ako te zanima, možeš to pokušati...

Ja mislim da je tako jednostavnije jedino kad je eksponent parni broj

U tom slučaju, umesto za [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^{2013}[/inlmath], računaj za [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^{2012}[/inlmath] pa ćeš imati paran broj u eksponentu... Naravno, na kraju samo još pomnoži rezultat sa [inlmath]\frac{1-i}{\sqrt 2}[/inlmath] i dobićeš [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^{2013}[/inlmath].

[dispmath]\left[\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right )^2\right]^{1006}=\left(\frac{1-2i-1}{2}\right)^{1006}=(-i)^{1006}=(-i)^2=-1[/dispmath][dispmath]-1\cdot\frac{1-i}{\sqrt 2}=\frac{i-1}{\sqrt 2}\cdot\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2(i-1)}{2}=\frac{\sqrt 2i}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath]
P.S.
Jesi vidia kako ide funkcija [inlmath]y=|x|[/inlmath] na onom linku ?

Nice.

P.S. Na kom linku?

Funkcija [inlmath]y=|x|[/inlmath]



Ti si reka da ona ne more bit neativna... A vidiš da more... Onda san ja mislija da je [inlmath]|y|=|x|[/inlmath] isto šta i [inlmath]y=|x|[/inlmath] ili [inlmath]y=x[/inlmath]

EDIT: FAIL
Znači na [inlmath]y[/inlmath] osi je uvik pozitivna u oba slučaja... AAAAAAA boli me glava

Dobro, 'el si na kraju skontao, ili da objašnjavam?
U svakom slučaju, ovo je rubrika „Kompleksni brojevi“, a tema o apsolutnoj vrednosti je ovde zalutala. O ovome možemo, ako je potrebno, u drugoj rubrici.

ja dobijam [inlmath]-\sqrt 2-\sqrt 2i[/inlmath]

Posle kompletnog „korak-po-korak“ postupka koji je blake ovde napisao, ja stvarno ne znam šta na ovo da ti odgovorim...

Ako je [inlmath]Z=\left(\frac{2+i}{3i-4}+3\frac{2-i}{5}\right)^{2006}[/inlmath] onda je izraz iz jednak :

Imam 2 slicna zadatka...

1. izracunati:
[dispmath]i+i^2+i^3+\cdots +i^{2000}[/dispmath]
je li ovde [inlmath]q=1[/inlmath] i broj clanova [inlmath]2000[/inlmath] ?

2. izracunati:
[dispmath]1+i+i^2+\cdots +i^{2004}[/dispmath]
je li ovde [inlmath]q=1[/inlmath] i broj clanova [inlmath]2004[/inlmath] ili [inlmath]2003[/inlmath] ?

smAshh je napisao:Ako je [inlmath]Z=\left(\frac{2+i}{3i-4}+3\frac{2-i}{5}\right)^{2006}[/inlmath] onda je izraz iz jednak :

Ne znan kako bi ovo napravia... Možda prvo ova tri kompleksna broja pretvorit u trigonometrijski oblik pa onda dijelit livi dio pa... hmm
Ali to mi se čini dugoo... Nezz

smAshh je napisao:Imam 2 slicna zadatka...

1. izracunati:
[dispmath]i+i^2+i^3+\cdots +i^{2000}[/dispmath]
je li ovde [inlmath]q=1[/inlmath] i broj clanova [inlmath]2000[/inlmath] ?

2. izracunati:
[dispmath]1+i+i^2+\cdots +i^{2004}[/dispmath]
je li ovde [inlmath]q=1[/inlmath] i broj clanova [inlmath]2004[/inlmath] ili [inlmath]2003[/inlmath] ?

Geometrijski niz... Za prvi sam puno sigurniji da je [inlmath]q=1[/inlmath] ,nego za drugi... [inlmath]n=2000[/inlmath]
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Ja bi za drugi reka da je [inlmath]n=2005[/inlmath]

Ljudi, šta vam je, [inlmath]q=i[/inlmath], za oba niza. To se odmah vidi kad se uporede dva susedna člana.

blake je napisao:Ja bi za drugi reka da je [inlmath]n=2005[/inlmath]

Dabome. Drugi niz se može napisati i kao
[dispmath]i^0+i^1+i^2+\cdots +i^{2004}[/dispmath]
tako da je opšti član niza [inlmath]a_n=i^{n-1}[/inlmath], pri čemu je poslednji [inlmath]a_{2005}=i^{2004}[/inlmath], dakle, ima ih [inlmath]2005[/inlmath].

U prvom nizu je, naravno, [inlmath]n=2000[/inlmath], kao što je blake i napisao.

smAshh je napisao:Ako je [inlmath]Z=\left(\frac{2+i}{3i-4}+3\frac{2-i}{5}\right)^{2006}[/inlmath] onda je izraz iz jednak :

Trebalo bi da je[dispmath]2^{1003}\cdot i[/dispmath]

Da. Taj izraz u zagradi se lepo racionalizuje, izmnoži, sabere, sredi i dobije se [inlmath]\left(1-i\right)^{2006}[/inlmath]. Zatim se prebaci u trigonometrijski oblik i primeni Moavrova formula...

Evo i načina bez prevođenja u trigonometrijski oblik. Pošto smo izračunali da je izraz u zagradi jednak [inlmath]\left(1-i\right)[/inlmath], napišemo prvih nekoliko stepena broja [inlmath]\left(1-i\right)[/inlmath] i pokušamo da uočimo pravilnost:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(1-i\right)^2=-2i\\
\left(1-i\right)^3=-2i\left(1-i\right)\\
\left(1-i\right)^4=-2i\left(1-i\right)^2=-2i\cdot\left(-2i\right)=-2^2\\
\left(1-i\right)^5=-2^2\left(1-i\right)\\
\left(1-i\right)^6=-2^2\left(1-i\right)^2=-2^2\cdot\left(-2i\right)=2^3i\\
\left(1-i\right)^7=2^3i\left(1-i\right)\\
\left(1-i\right)^8=2^3i\left(1-i\right)^2\mathop=2^3i\cdot\left(-2i\right)=2^4\\
\cdots\\
\left(1-i\right)^{8k}=2^{4k},\quad k\in\mathbb{N}\\
\cdots\\
\end{array}[/dispmath]
I, primenjujući ovu pravilnost, nađemo i [inlmath]\left(1-i\right)^{2006}[/inlmath]:
[dispmath]\left(1-i\right)^{2006}=\left(1-i\right)^{2008-2}=\left(1-i\right)^{8\cdot 251-2}=\frac{\left(1-i\right)^{8\cdot 251}}{\left(1-i\right)^2}=\frac{2^{4\cdot 251}}{-2i}=\frac{2^{4\cdot 251-1}}{-i}\cdot\frac{i}{i}=2^{1003}i[/dispmath]

moze li postupak kako da sredimo ovo u zagradi? nije mi jasan ovaj drugi cinilac u njoj... je li ovo [inlmath]3\cdot[/inlmath] nesto ili [inlmath]3[/inlmath] cela i nesto?

Ne, ovako napisano to je [inlmath]3\cdot\frac{2-i}{5}[/inlmath], tj. množenje je u pitanju. Mada se slažem da mešoviti razlomci (oni kod kojih se podrazumeva sabiranje) umeju da izazovu zabunu i zato ih ja, lično, nerado koristim.

Evo ti uputstvo za postupak: razlomak [inlmath]\frac{2+i}{3i-4}[/inlmath] racionalizuješ, tj. pomnožiš i brojilac i imenilac konjugovano-kompleksnim brojem broja u imeniocu, a to bi u ovom slučaju bio [inlmath]3i+4[/inlmath]. Treba da dobiješ [inlmath]\frac{-1-2i}{5}[/inlmath]. U onom drugom razlomku, [inlmath]3\frac{2-i}{5}[/inlmath], samo pomnožiš brojilac tom trojkom. Sada imaš dva razlomka jednakih imenilaca (koji iznose [inlmath]5[/inlmath]), pa ih jednostavno sabereš. U brojiocu ćeš dobiti [inlmath]5-5i[/inlmath] i, posle skraćivanja s peticom u imeniocu, ostaje [inlmath]1-i[/inlmath].