MATEMANIJA

Ako je [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath], tada je izraz [inlmath]x^{2009}+x^{-2009}[/inlmath] jednak?

Prvo sto mi je palo na pamet je Moavrova formula, medjutim video sam da jednacina [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] ima dva resenja, pa ne razumem kako mogu ta dva resenja ubacena u izraz [inlmath]x^{2009}+x^{-2009}[/inlmath] da daju isti rezultat?
Ja sam koristio [inlmath]\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}[/inlmath] kao resenje kvadratne jednacine i dobio rezultat [inlmath]-1[/inlmath]. Pre svega me zanima da li treba u ovom i slicnim zadacima da se obazirem na dva resenja kvadratne jednacine?

Treba, u svakom slučaju, ispitati da li se isti rezultat dobije i s jednim i s drugim rešenjem i, ako se dobije, onda to i naglasiti.
Ovde nije neophodno da radimo preko Moavrove formule, možemo naći prvih nekoliko stepena za ova dva rešenja (znakom [inlmath]\pm[/inlmath] obuhvatamo oba rešenja u računu):
[dispmath]\left(\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}\right)^2=\frac{1\mp i2\sqrt 3-3}{4}=\frac{-2\mp i2\sqrt 3}{4}=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}\right)^3=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}\cdot\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\frac{\left(-1\right)^2-\left(i\sqrt 3\right)^2}{4}=\frac{1+3}{4}=1[/dispmath]
(Znak [inlmath]\mp[/inlmath] označava da se na tom mestu, kada se u polaznom izrazu umesto [inlmath]\pm[/inlmath] nalazi plus, dobija minus. I obratno.)

I onda koristimo pogodnost što je [inlmath]3.[/inlmath] stepen i jednog i drugog rešenja jednak jedinici, pa [inlmath]x^{2009}+x^{−2009}[/inlmath] lako izračunamo:
[dispmath]x^{2009}+x^{−2009}=x^{2007}x^2+x^{−2010}x=\left(x^3\right)^{669}x^2+\left(x^3\right)^{−670}x=[/dispmath][dispmath]=1^{669}x^2+1^{-670}x=x^2+x=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}+\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\frac{-2}{2}=-1[/dispmath]
Znači, ipak mogu ta dva različita rešenja, kad se ubace u taj izraz, da daju isti rezultat, jer se tu neki delovi izraza međusobno ponište...

Koliko je ovo prostije, ja bih se okotio dok bih odradio preko Moavrove za oba slucaja
Oni meni nude uvek jedno resenje, ja cu da pretpostavim da su ista kao i ovde, pa necu da se mucim
Hvala

A ja ti baš i pokazah način na koji „jednim udarcem ubijaš dve muve“ – iliti, jednim postupkom odradiš rezultat i za jedno i za drugo rešenje, upotrebom [inlmath]\pm[/inlmath] i [inlmath]\mp[/inlmath]... Znači, nikakvo dodatno „mučenje“...

Možeš ti raditi i za samo jedno rešenje, samo, nisam baš siguran da će ti takav postupak biti u potpunosti priznat...

Ne gleda se postupak, samo resenje. A oni u resenju uvek ponude jedan rezultat