MATEMANIJA

3. Kompleksan broj [inlmath]z=x+iy,\;\left(x,y\in\mathbb{R}\right)[/inlmath] je rešenje jednačine [inlmath]2z=\left|z\right|+2i[/inlmath] ako i samo ako je:

[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;x=\frac{1}{\sqrt 3};\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;x=-\frac{1}{\sqrt 3};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\left|x\right|=\frac{1}{\sqrt 3};\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;x=1;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;y=-1;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{Ne znam.}[/inlmath]

Ja dobijem rezultat [inlmath]\pm\frac{1}{\sqrt3}[/inlmath], a resenje je pod [inlmath]a[/inlmath].

[dispmath]2\left(x+iy\right)=\left|x+iy\right|+2i[/dispmath][dispmath]2x+i2y-2i=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath][dispmath]2x+i2\left(y-1\right)=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath]
Pre kvadriranja treba da diskutujemo: pošto je izraz na desnoj strani jednačine realan broj, mora biti realan i izraz na levoj strani, a on će biti realan kada je [inlmath]y-1=0[/inlmath], tj. kada je [inlmath]y=1[/inlmath], pa se jednačina svodi na:
[dispmath]2x=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath]
Takođe, pošto je izraz na desnoj strani veći od nule ili nula, mora i izraz na levoj strani biti veći od nule ili nula (to je, verovatno, uslov koji si zaboravila da napišeš):
[dispmath]x\ge 0\quad\left(1\right)[/dispmath]
Pa onda kvadriramo obe strane:
[dispmath]4x^2=x^2+\cancelto{1}{y^2}[/dispmath][dispmath]3x^2=1[/dispmath][dispmath]x^2=\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]x=\pm\frac{1}{\sqrt 3}[/dispmath]
I, u preseku s uslovom [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], konačno rešenje je
[dispmath]\underline{x=\frac{1}{\sqrt 3}}[/dispmath]

P.S. Ne bilo ti zapoveđeno, ali u ovakvim slučajevima je vrlo poželjno da priložiš svoj postupak, jer bi nam time uštedela vreme, da ne radimo sve ono što si ti već uradila, već da ti samo ukažemo na eventualne greške.

Vazi

Nisam uradila uslov, a zadatak je lak. Uff...

Hvala!