MATEMANIJA

Zdravo svima.

Zanima me sledeće: ako smo imaginarne brojeve "dobili" tako što smo povukli imaginarnu osu normalno na realnu brojnu osu, pa će kompleksni brojevi biti određene tačke na tom grafiku. Ako bismo sad na primer povukli osu normalnu na obe ose, dobili bismo 3D sliku. Da li se u tom 3D prostoru nalaze neki, "još kompleksniji" brojevi, i ako da, koje su njihove osobine i kako se zovu ti brojevi? Da li možemo vršiti osnovne aritmetičke operacije nad tim brojevima? Takođe, ako znate gde mogu da pročitam više o tome, zamolila bih vas da mi pošaljete link (ako se to sme) jer me zaista zanima, a nisam znala kako da se izrazim, pa da pretražim na Internetu.
Nadam se da sam bila jasna! Hvala unapred.

Pozdrav! Pitanje je zanimljivo, a odgovor je, po meni, još interesantniji. Nakon što su kompleksni brojevi i formalno uvedeni u matematiku, postojala je želja da se otkriju brojevi koji bi se mogli predstavljati u tri dimenzije. Najviše je tome doprineo Hamilton, koji je znao da kompleksan broj u opštem obliku možemo prikazati sa [inlmath]z=a+bi[/inlmath] (što odgovara dvema dimenzijama u kojima se oni prikazuju), te je mislio da bi brojevi koji bi bili prikazani u tri dimenzije morali imati oblik nekakvih trojki: [inlmath]a+bi+cj[/inlmath], gde bi novouvedeno [inlmath]j[/inlmath] imalo slične osobine kao [inlmath]i[/inlmath], o čemu on nije tada toliko znao.

Imao je zamisao da kao što za kompleksne brojeve važi:
[dispmath](a+bi)(a-bi)=a^2+b^2[/dispmath] i za "njegove" brojeve važi isto, te je proverom došao do sledećeg:
[dispmath](a+bi+cj)(a−bi−cj)=a^2+b^2+c^2+(-ij-ji)bc[/dispmath] odakle bi moralo slediti [inlmath]ij=ji=0[/inlmath] ili [inlmath]ij=-ji[/inlmath]. Pokazalo se da to ne može da se učini, te se Hamilton okreće četvorkama brojeva [inlmath]a+bi+cj+dk[/inlmath]. Došao je na ideju da bi svaku tačku u prostoru mogao predstaviti sa tri od četiri broja iz njegove cetvorke [inlmath]a+bi+cj+dk[/inlmath] i u kamenu mosta preko kog je prelazio kada mu je ta ideja sinula zabeležio:
[dispmath]i^2=j^2=k^2=ijk=-1[/dispmath] Uspeo je da proširi skup kompleksnih brojeva na skup brojeva koje je nazvao kvaternioni. Taj skup njemu u čast nosi oznaku [inlmath]\mathbb{H}[/inlmath].

---

Ovaj post govori potpuno isto što ćeš moći da nađeš i na jednom malom delu celovitog master rada, koji je dostupan za preuzimanje i javno deljenje na ovom linku. Siguran sam da će odgovoriti na sva tvoja pitanja

jojovanana je napisao:..., koje su njihove osobine i kako se zovu ti brojevi? Da li možemo vršiti osnovne aritmetičke operacije nad tim brojevima?

Na ova pitanja odgovor mogu i ja napisati, ali mislim da ćeš ga dobiti pod naslovom [inlmath]4.1.[/inlmath] na priloženom linku. Takođe bih rekao da se skupovi brojeva na ovaj način mogu širiti u nedogled, ali je pre svega stvar u njihovoj primenljivosti, jer toliki skupovi zapravo nisu potrebni. Tako se posle kvaterniona javljaju oktave (oktonioni) koje su takođe objašnjene na pomenutom linku, a koje barataju osmodimenzionalnom algebrom.