MATEMANIJA

Pozdrav, riješavam jednu jednačinu iz kompleksnih brojeva pa nikako da dobijem rešenje:
[dispmath]\left|z^2+1\right|-2|z|=0[/dispmath] Dakle [dispmath]z=x+yi[/dispmath] nakon što to raspišem dobijem nešto 4og stepena i dalje ne znam.
[dispmath]\left|x^2+yi^2+2xyi+1\right|=2|x+yi|[/dispmath] Za rešenje, dobiju se se dva kruga.
Pitanje: Je li ovdje moguća smjena?

[dispmath]\left|z^2+1\right|-2|z|=0[/dispmath][dispmath]\left|(x+yi)^2+1\right|-2|z|=0[/dispmath][dispmath]\left|x^2+2xyi-y^2+1\right|-2|x+yi|=0[/dispmath][dispmath]\left|\left(x^2-y^2+1\right)+2xyi\right|-2|x+yi|=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\left(x^2-y^2+1\right)^2+(2xy)^2}-2\sqrt{x^2+y^2}=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\left(x^2-y^2+1\right)^2+4x^2y^2}=2\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath][dispmath]\left(x^2-y^2+1\right)^2+4x^2y^2=4\left(x^2+y^2\right)[/dispmath][dispmath]\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x^2-y^2\right)+1+4x^2y^2=4x^2+4y^2[/dispmath][dispmath]x^4-2x^2y^2+y^4+2x^2-2y^2+1+4x^2y^2=4x^2+4y^2[/dispmath][dispmath]x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-6y^2+1=0[/dispmath][dispmath]x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-2y^2+1-4y^2=0[/dispmath][dispmath]\left(x^2+y^2-1\right)^2-(2y)^2=0[/dispmath][dispmath]\left(x^2+y^2-2y-1\right)\left(x^2+y^2+2y-1\right)=0[/dispmath][dispmath]1.[/dispmath][dispmath]x^2+y^2-2y-1=0[/dispmath][dispmath]x^2+y^2-2y+1=2[/dispmath][dispmath]x^2+(y-1)^2=2[/dispmath][dispmath]2.[/dispmath][dispmath]x^2+y^2+2y-1=0[/dispmath][dispmath]x^2+y^2+2y+1=2[/dispmath][dispmath]x^2+(y+1)^2=2[/dispmath]

primus je napisao:[dispmath]x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-6y^2+1=0[/dispmath][dispmath]x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-2y^2+1-4y^2=0[/dispmath]

A ukoliko se ne setimo ovog elegantnog načina koji vodi ka faktorisanju, možemo raditi i „šablonskije“, svođenjem na kvadratnu jednačinu po [inlmath]x^2[/inlmath],
[dispmath]\left(x^2\right)^2+2\left(y^2-1\right)x^2+\left(y^4-6y^2+1\right)=0[/dispmath] čija su rešenja
[dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=-\left(y^2-1\right)\pm2y[/dispmath] što daje jednačine
[dispmath]x^2+y^2\pm2y-1=0[/dispmath] a koje se dalje svode na jednačine kružnica onako kako je primus gore pokazao.

Hvala vam. Nadam se da je bio zanimljiv za uradit..