Zdravo meni je ovo prvi post ovde tako da se izvinjavam ako ima nekih gresaka.
Zadatak kaze resiti jednacinu ako [inlmath]Z[/inlmath] pripada skupu kompleksnih brojeva:
[dispmath](Z-1)^3=i\cdot(Z+i)^3[/dispmath] E sad ja sam izrazio [inlmath]i[/inlmath] i dobio:
[dispmath]\sqrt[3]i=\frac{z-1}{z+i}[/dispmath] [inlmath]i[/inlmath] sam preveo u trigonometrijski oblik i nasao 3 resenja za [inlmath]i[/inlmath] preko moavrove formule:
[dispmath]W_0=\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2},\quad k=0\\
W_1=\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2},\quad k=1\\
W_2=\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-i,\quad k=2[/dispmath] Onda sam pokusao da svako od ovih resenja uvrstim u gornju jednacinu i nadjem [inlmath]Z[/inlmath] za svaki slucaj ali dobijam neku jednacinu sa dve nepoznate koju ne mogu da resim nakon sto izjednacim realni sa realnim i imaginarni sa imaginarnim
Za prvi slucaj dobijam:
[dispmath]\sqrt3\cdot(x+1)+y\cdot(2y-3)=2\\
x\cdot(3-4y)+y\cdot\left(2+\sqrt3\right)=-1[/dispmath] Zanima me ima li drugih nacina da se resi ovaj zadatak i da li je ovaj moj postupak do ovde uopste dobar.

Zarkom je napisao:Zdravo meni je ovo prvi post ovde tako da se izvinjavam ako ima nekih gresaka.

Zdravo. Eh kad bi svi ovako postavljali pitanja, bilo bi milina voditi ovaj forum.

Ideja ti je sasvim dobra, samo nisi dobio ispravne jednačine za prvi slučaj, negde imaš grešku u računu. Za prvi slučaj treba da se dobije
[dispmath]x-1=\frac{\sqrt3}{2}x-\frac{1}{2}(y+1)\\
y=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt3}{2}(y+1)[/dispmath] a to se onda malo sredi i dobije se linearni sistem koji se vrlo lako reši.

Hvala vam puno video sam gresku.
Nemam vremena sad ali kasnije cu ceo zadatak da uradim odakle sam stao i saljem resenja koja sam dobio.

Izvini na zakasnjenju pokusao sam opet da resim ali opet negde zapnem evo sta dobijam od pocetka za prvi slucaj imamo:
[dispmath]\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}=\frac{x+iy-1}{x+iy+i}[/dispmath] Sad samo cu da posmatram deo sa desne strane pa kad dobijem imaginarni i realni deo izjednacicu ga sa levim imamo:
[dispmath]\frac{x-1+iy}{x+i(y+1)}\cdot\frac{x-i(y+1)}{x-i(y+1)}=\frac{(x-1+iy)\cdot(x-iy-i)}{x^2+(y+1)^2}=[/dispmath][dispmath]=\frac{x^2\cancel{-ixy}-ix-x+iy+i\cancel{+ixy}+y^2+y}{x^2+y^2+2y+1}=\frac{x^2+y^2+y-x+i(-x+y+1)}{x^2+y^2+2y+1}[/dispmath] Onda kad izjednacim sa desnim dobijam sistem od dve jednacine:
[dispmath]\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x^2+y^2+y-x}{x^2+y^2+2y+1}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}=\frac{-x+y+1}{x^2+y^2+2y+1}[/dispmath] E sad ako mi je ovo do ovde tacno mislim da ovde imam problem jer kad sredim te jednacine dobijam za prvu:
[dispmath]x^2\left(2-\sqrt3\right)+y^2\left(2-\sqrt3\right)+y\left(2-2\sqrt3\right)-\sqrt3=0[/dispmath] A za drugu:
[dispmath]x^2+y^2+2x-1=0[/dispmath] I tu stanem pokusavao sam da pomnozim drugu sa dva i da saberem sa prvom da izgubim ove kvadrate al tada imam jednu jednacinu sa dve nepoznate.

Pod pretpostavkom da ti je dobra prva jednačina, nema potrebe da imenilac razlomka sa desne strane nameštaš na realan broj. Samo obe strane pomnožiš tim imeniocem i izjednačiš realne i imaginarne delove.

Hvala nisam se uopste setio da samo pomnozim imenilac i odma izjednacim ukomplikovao sam nacisto sad sam dobio jednacine koje je Daniel dobio i kad sam ih resio dobio sam za prvi slucaj:
[dispmath]Z_0=\frac{-1-\sqrt3}{2}+i\frac{1+\sqrt3}{2}[/dispmath]

Za drugi i treci slucaj sam dobio:
[dispmath]Z_1=\frac{-1+\sqrt3}{2}+i\frac{1-\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]Z_2=1-i[/dispmath]

Potvrđujem tačnost rešenja.
Čak, može se i izbeći rešavanje sistema jednačina ako se [inlmath]z[/inlmath] ne razloži kao [inlmath]x+iy[/inlmath], već ako se ostavi takvo kakvo jeste – kao [inlmath]z[/inlmath] – i onda rešava jedna jednačina po [inlmath]z[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}=\frac{z-1}{z+i}\\
\left(\sqrt3+i\right)(z+i)=2z-2\\
\left(\sqrt3-2+i\right)z=-1-i\sqrt3\\
z=\cdots[/dispmath] I onda tu ima malo sređivanja, malo racionalizacije, ali se ne dobija sistem jednačina.

---

Postupak se može još malo i ubrzati ako se prvi i drugi slučaj objedine, čime dobijamo
[dispmath]\pm\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}=\frac{z-1}{z+i}\\
\cdots\\
\left(\pm\sqrt3-2+i\right)z=-1\mp i\sqrt3\\
z=\cdots[/dispmath] Dakle, ovime „jednim udarcem ubijamo dve muve“, nakon čega je ostalo samo još odraditi rešenje za treći slučaj. Ipak, ovaj način ne preporučujem ako nisi vičan baratanju s [inlmath]\pm[/inlmath] i [inlmath]\mp[/inlmath], jer lako može doći do greške. Možeš uraditi ovako za probu, pa videti da li ti ovaj način leži.

Da mi nismo ni morali da pisemo dve jednacine mogli smo [inlmath]z[/inlmath] da ostavimo i odma da racunamo sto je opet kraci postupak. Probao sam da racunam sa [inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]-[/inlmath] zajedno i definitivno mislim da bih se zbunio negde. Razumem ideju ovim skratimo postupak ali ja bih definitvno napravio gresku na ispitu.
Mi bismo u stvari mogli i ako bi bilo 3 kompleksne jednacine koje se razlikuju samo po znaku mogli sa 3 znaka da radimo ? Al sumnjam da bih ih tim postupkom dobro odradio ali svakako treba da se zna svaki nacin na koji mozemo da resimo zadatak.