MATEMANIJA

Pozdrav hvala jos jednom za pomoc oko prethodnog zadatka. Naisao sam na jos jedan koji mi nije bas najjasniji glasi ovako:
Odrediti: [inlmath]\Re w,\Im w,\left|w\right|,\arg w[/inlmath] ako je [inlmath]w=\large\frac{z+1}{z-1}[/inlmath] a [inlmath]z=e^{\Large i\frac{\pi}{9}}[/inlmath]
E sad ovaj zadatak me u startu zbunio posto nam ugao od [inlmath]\frac{\pi}{9}[/inlmath] nije karakteristican pa ne mogu ovaj broj [inlmath]z[/inlmath] da napisem u algebarskom. Jedino sto mi ostaje da raspisem [inlmath]z[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku kada ga pretvorim u trigonometrijski dobijam:
[dispmath]w=\frac{\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9}+\cos0+i\sin0}{\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9}+\cos\pi+i\sin\pi}[/dispmath] I dalje ne znam mislio sam da mozda razdvojim realne i imaginarne delove pa da pomnozim gornju i donju stranu da izgubim [inlmath]i[/inlmath] dole pa onda mozda da odvojim realni i imaginarni deo al opet ne mogu da se resim ovih [inlmath]\frac{\pi}{9}[/inlmath].

Ne treba da te zbunjuje to što ugao nije karakterističan. Svakako je rešenje „lepše“ kada imamo karakterističan ugao, ali ni ovo neće mnogo promeniti stvari, s tim da sinus ili kosinus tog ugla ostavljamo tako napisan, budući da se on ne može svesti ni na kakav „finiji“ izraz.

[inlmath]+1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] nemoj zapisivati u trigonometrijskom obliku, ostavi ih takve kakvi su. Uvrsti [inlmath]z=\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9}[/inlmath] u izraz za [inlmath]w[/inlmath], svedi imenilac na realan oblik i nakon toga će tu moći svašta-nešto da se sredi. Kao konačno rešenje ćeš dobiti [inlmath]w=-i\text{ ctg }\frac{\pi}{18}[/inlmath], a pošto taj ugao nije karakterističan, onda jednostavno ostaviš tako zapisano, dalje se ne može uprostiti. Ali, i ovakav rezultat je dovoljno „zgodan“ da bez problema možeš odgovoriti na pitanja koliko iznose realan deo, imaginaran deo, modul i argument.

Hvala vam uspeo sam valjda resiti evo postupka:
[dispmath]w=\frac{\cos\frac{\pi}{9}+1+i\sin\frac{\pi}{9}}{\cos\frac{\pi}{9}-1+i\sin\frac{\pi}{9}}[/dispmath] neka je [inlmath]\frac{\pi}{9}=\alpha[/inlmath]
[dispmath]w=\frac{\cos\alpha+1+i\sin\alpha}{\cos\alpha-1+i\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha-1-i\sin\alpha}{\cos\alpha-1-i\sin\alpha}[/dispmath] Kada ovo izmnozim i primenim trigonometrijsku formulu [inlmath]\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1[/inlmath] dobijam:
[dispmath]w=-i\cdot\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}[/dispmath] Onda primenim; [inlmath]\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i dobijam:
[dispmath]w=-i\cdot\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\cdot\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-i\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/dispmath] Odnosno: [inlmath]w=-i\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}=-i\text{ ctg }\frac{\pi}{18}[/inlmath] gde je [inlmath]\Re=0[/inlmath], [inlmath]\Im=-\text{ ctg }\frac{\pi}{18}[/inlmath], [inlmath]\left|w\right|=\text{ ctg }\frac{\pi}{18}[/inlmath], [inlmath]\arg w=-\frac{\pi}{2}[/inlmath]

Evo jednog alternativnog načina koji se može primeniti u ovom zadatku (i retko kom još). Iz imenioca i brojioca se može izvući [inlmath]e^{i\frac{\pi}{18}}[/inlmath] nakon čega se dobija:
[dispmath]w=\frac{e^{i\frac{\pi}{18}}+e^{-i\frac{\pi}{18}}}{e^{i\frac{\pi}{18}}-e^{-i\frac{\pi}{18}}}[/dispmath] Množenjem sa [inlmath]\frac{\frac{2}{2}}{\frac{2i}{2i}}[/inlmath] dobija se [inlmath]w=\frac{1}{i}\text{ ctg }{\frac{\pi}{18}}[/inlmath].