MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
19. zadatak

Vrednost izraza [inlmath]\displaystyle\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}[/inlmath] je?

[dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{-2+i2\sqrt3}{4}=\frac{-1+i\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{1+i\sqrt3}{2}\cdot\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{1+i\sqrt3}{2}\cdot\frac{-1+i\sqrt3}{2}=\frac{-4}{4}=-1[/dispmath] Na sličan način se pokaže i da je
[dispmath]\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^3=-1[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}=\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2010}\cdot\frac{1+i\sqrt3}{2}=\cancelto{1}{\left[\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^3\right]^{670}}\cdot\frac{1+i\sqrt3}{2}=\frac{1+i\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2010}\cdot\frac{1-i\sqrt3}{2}=\cancelto{1}{\left[\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^3\right]^{670}}\cdot\frac{1-i\sqrt3}{2}=\frac{1-i\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}=\frac{1+i\sqrt3}{2}+\frac{1-i\sqrt3}{2}=1[/dispmath]

Zadatak ide ovako:
[dispmath]\left(\frac{1+\imath\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-\imath\sqrt3}{2}\right)^{2011}=[/dispmath] Ja sam to preko trigonometrije radio, znaci nadjem modul. Kod oba je [inlmath]r=2[/inlmath].
Pa onda nadjem ugao:
[dispmath]\text{arctg }\sqrt3=\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\text{arctg }-\sqrt3=-\frac{\pi}{3}[/dispmath] Ubacim u moavrovu formulu:
[dispmath]z^{2011}=2^{2011}\left(\cos\frac{2011\pi}{3}+\sin\frac{2011\pi}{3}\right)=2^{2011}(\cos\pi)=-2^{2011}[/dispmath][dispmath]z^{2011}=2^{2011}\left(\cos\frac{-2011\pi}{3}+\sin\frac{2011\pi}{3}\right)=2^{2011}(\cos-\pi)=-2^{2011}[/dispmath] Dalje:
[dispmath]\frac{-2^{2011}}{2^{2011}}+\frac{-2^{2011}}{2^{2011}}=-2[/dispmath] Resenje je [inlmath]1[/inlmath]. Prijemni matf 2011. Gde gresim?

Moduo kod oba broja je [inlmath]1[/inlmath].

Aha, ti si gledao kompleksni broj kao celu zagradu. Ja sam gledao iznad razlomacke crte. Kako god dobijes opet na kraju [inlmath]-1-1=-2[/inlmath]

[dispmath]z_1=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\quad\land\quad z_2=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\\
\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\\
\left|z_2\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1[/dispmath] To je što se modula tiče.
Sad imam dve primedbe, više tehničke prirode.
1. Ukoliko imaš razlomak unutar zagrade savetujem ti da koristiš \left( \right)
Primer bez navedenih tagova: [inlmath](\frac{1+i\sqrt3}{2})[/inlmath] kod - (\frac{1+i\sqrt3}{2})
Primer sa upotrebljenim tagovima: [inlmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)[/inlmath] kod - \left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)
2. Smatram da je ova tema adekvatnija u rubrici KOMPLEKSNA ANALIZA, tako da bi mod tim mogao da premesti ovu temu u skladu sa Članom 8. Pravilnika. Mada ovo je samo sugestija.

Pa deder mi pojasni gde gresim posto si i ti dobio [inlmath]1[/inlmath]

lowzyyy je napisao:Prijemni matf 2011.

Hvala za navođenje izvora zadatka. Jedan savet i za tebe i za ostale korisnike. Kad vam treba pomoć oko nekog zadatka s ranijih prijemnih, otidite na novootvoreni deo sajta s prijemnim ispitima, potražite taj rok, zatim taj zadatak, i proverite da li je možda već bio rešen ovde na forumu.
Konkretno, evo tog zadatka. Ispod njega se nalazi link, što znači da je na ovom forumu već rešen i da nema potrebe da se duplira.

Kul, sad vec pocinjem da spamujem, ali gde gresim

Moj postupak:
[dispmath]z_1=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\quad\land\quad z_2=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\\
\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\\
\left|z_2\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\\
z_1^{2011}=\left(\cos\frac{2011\pi}{3}+i\sin\frac{2011\pi}{3}\right)\\
z_1^{2011}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\\
z_2^{2011}=\left(\cos\frac{-2011\pi}{3}+i\sin\frac{-2011\pi}{3}\right)\\
z_2^{2011}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\\
\Longrightarrow\quad z_1^{2011}+z_2^{2011}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}=2\cos\frac{\pi}{3}=1[/dispmath] Što se tvog postupka tiče meni nije jasno kako si ti dobio:
[dispmath]\cos\frac{2011\pi}{3}+i\sin\frac{2011\pi}{3}=\cos{\pi}[/dispmath] Takođe

lowzyyy je napisao:[dispmath]z^{2011}=2^{2011}\left(\cos\frac{-2011\pi}{3}+i\sin\frac{2011\pi}{3}\right)=2^{2011}(\cos-\pi)=-2^{2011}[/dispmath]

Ovde si pogrešio na par mesta
[dispmath]\alpha=-\frac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad\cos\frac{-2011\pi}{3}+i\sin\frac{-2011\pi}{3}[/dispmath] [inlmath]\cos-\pi[/inlmath] nije ispravno zapisati, možeš zapisati kao [inlmath]\cos\left(-\pi\right)=\cos\pi[/inlmath]