MATEMANIJA

Zadatak glasi ovako:

Odrediti sve kompleksne brojeve [inlmath]z=a+bi[/inlmath] ako je [inlmath]z^4=-7-24i[/inlmath]

Resenje ima cetiri kompleksna broja
[dispmath]z_1 = 2 - i\\
z_2=-2+i\\
z_3=1+2i\\
z_4=-1-2i[/dispmath] Zadatak ne znam ni da krenem jer ovako nesto nikada nisam ucio a pretpostavljam da ima cetiri resenja zbog [inlmath]z^4[/inlmath] pa molim da mi neko pomogne ko zna kako se ovo resava. Pretpostavljam da [inlmath]z[/inlmath] moramo svesti na oblik kao [inlmath]z=a+bi[/inlmath] ali ne znam kako da pocnem zadatak.

Kreneš od [inlmath](a+ib)^4=-7-i24[/inlmath], levu stranu razviješ (najlakše preko binomne formule) i izjednačiš realne i imaginarne delove.
Treba da se dobije sistem
[dispmath]\left(a^2-b^2\right)^2-4a^2b^2=-7\\
ab\left(a^2-b^2\right)=-6[/dispmath] u kome je očigledno najpogodnije uvesti smenu [inlmath]a^2-b^2=u[/inlmath] i [inlmath]ab=v[/inlmath], odakle se odrede [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath]. Dalje mislim da ćeš se lako snaći...

Hvala, uspeo sam da uradim. Nisam ovakve zadatke nikada radio a nisam se ni setio da mogu tako da predstavim [inlmath]z[/inlmath].