MATEMANIJA

Da li imate ideju kako početi sledeći zadatak?
Izračunati vrijednost datog izraza:
[dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{60}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{30}[/dispmath] Rešenje je [inlmath]2[/inlmath].

Zadatak je iz knjige "Matematika za drugi razred gimnazije i drugih srednjih škola" Adem Huskić, zadatak 3.48.

Pozdrav, dobro nam došao!

U principu, kad god u kompleksnoj analizi imaš vrednosti kao što su [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], to nas nekako "vuče" da primenimo trigonometrijski zapis kompleksnog broja. Ovde imaš detaljno objašnjenje o kompleksnim brojevima, pa pokušaj da primeniš Moavrovu formulu na ovaj slučaj. Ako ti je lakše, kompleksni broj možeš da predstaviš i u Ojlerovom obliku (takođe je opisan u linkovanom postu), pa da ga onda stepenuješ. Nadam se da ti je ovo dovoljno da "isplivaš", a ako bude problema, javi.

Pozdrav i hvala na dobrodošlici.

Zadatak je potrebno riješiti bez korištenja trigonometrijskog ili eksponencijalnog oblika, jer to gradivo nije još obrađeno. Obrađeno je sabiranje, oduzimanje, množenje, konjugovan kompleksni broj i dijeljenje.

Ok, može i tako. Zamolio bih te da sledeći put napišeš ako neki postupak ne sme (ili mora) da se koristi.

U tom slučaju, zapiši prvi sabirak kao [inlmath]\left(\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^3\right)^{20}[/inlmath] pa prvo izračunaj ovaj kub. Onda primeni analogni postupak i za drugi sabirak i ne bi trebalo da bude problema.

Da, izvini, trebao sam to napisati u prvoj poruci.

Imaju još tri-četiri slična zadatka na taj isti fazon. Hvala na pomoći i rješenju!

Mozda bude nekome zatrebalo ali ovaj izraz moze da se resi i tako sto se sve stavlja na kvadrat. Leva zagrada bi bila na kvadrat pa jos na trideseti stepen a desna zagrada isto na kvadrat pa na petnaesti stepen. Svaki brojilac se tada radi kao kvadrat binoma a dvojke u imeniocu se samo podizu na kvadrat. Meni je nekako brze da radim kvadrat binoma i tako i radim kad god to mogu.

Ne bih se složio.
Dizanjem oba izraza unutar zagrada na treći stepen dobije se i za jedan i za drugi [inlmath]-1[/inlmath], što je dalje vrlo jednostavno dići na bilo koji stepen.
Nasuprot tome, ako te izraze dignemo na kvadrat, dobijemo [inlmath]\frac{-1+i\sqrt3}{2}[/inlmath] za prvi izraz i [inlmath]\frac{-1-i\sqrt3}{2}[/inlmath] za drugi izraz.