MATEMANIJA

Pozdrav svima! Imam problem sa sledećim zadatkom:
Odrediti realne brojeve [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] tako da je [inlmath]\sqrt{3-4i}=x+iy[/inlmath]. Rešenje: [inlmath]x_{1/2}=\pm2,\hspace{5mm}y_{1/2}=\mp1[/inlmath]
U rešenjima su odmah kvadrirali obe strane, pa potom izjednačili realne delove sa realnim, a imaginarne sa imaginarnim. Nije mi jasno kako smo se tek tako, nakon kvadriranja, oslobodili kvadratnog korena? Takodje, nisu postavljani nikakvi uslovi u vezi znaka leve i desne strane, kao sto je slučaj kad se rade iracionalne jednačine u skupu realnih brojeva?
Suvišno je reći (jer je u pitanju kompleksan broj) da je potkorena veličina pozitivna ili negativna. Nije mi jasno kako se "posmatraju" ovakve jednačine kod kojih je kompleksan broj ispod korena?

Na neki način si sam sebi odgovorio. Lepo si primetio da kod kompleksnih brojeva ne možemo da govorimo o "pozitivnim" ili "negativnim" vrednostima. Samim tim i kod korenovanja nema potrebe da vodimo računa o znaku kao kod realnih brojeva. Da ne bude zabune, realni ([inlmath]x[/inlmath]) i imaginarni ([inlmath]y[/inlmath]) deo kompleksnog broja mogu da budu pozitivni, negativni ili jednaki nuli. Moduo kompleksnog broja može da bude pozitivan ili jednak nuli (mora da bude nenegativan). Ali, za kompleksni broj sam za sebe ne možeš da kažeš ni da je pozitivan ni da je negativan.

Ako je moduo kompleksnog broja jednak bili onda je kompleksan broj zapravo realan i iznosi [inlmath]0[/inlmath].
Logično je da kompleksni broj ne može biti pozitivan ni negativan. Lepo bi bilo kad bi znao pokret za ovu tvrdnju. Da li samo za brojeve koji striktno "leže" na [inlmath]x[/inlmath]-osi ima smisla govoriti o znaku, tj. da li su pozitivni ili negativni?

Frank je napisao:Nije mi jasno kako smo se tek tako, nakon kvadriranja, oslobodili kvadratnog korena? Takodje, nisu postavljani nikakvi uslovi u vezi znaka leve i desne strane, kao sto je slučaj kad se rade iracionalne jednačine u skupu realnih brojeva?
Suvišno je reći (jer je u pitanju kompleksan broj) da je potkorena veličina pozitivna ili negativna. Nije mi jasno kako se "posmatraju" ovakve jednačine kod kojih je kompleksan broj ispod korena?

Podsetio bih te da na sva ova pitanja imaš odgovore u ovoj temi od pre par nedelja.

Malo me zbunjuje sto u zadatku sa početka teme ispod korena je kompleksan broj, a u linkovanom postu ispod korena je negativan realan broj.

Ako dobro shvatam tvoja pitanja, tebe buni kada posmatramo koren u realnom, a kada u kompleksnom domenu? Najlakše je, naravno, ako je eksplicitno napisano da zadatak treba rešiti u skupu realnih (ili kompleksnih) brojeva. Ako nije naglašeno, onda možemo da diskutujemo o tome. Ali čak i tada, ako je potkorena veličina kompleksan broj, stvari nisu sporne. Ako je potkorena veličina za parni koren negativan realan broj, stvari su opet jasne. Sa druge strane, ako je potkorena veličina nenegativan realan broj, opet nema dileme (opet naglašavam, ovo važi samo ako nije eksplicitno navedeno da zadatak treba rešiti u skupu kompleksnih brojeva). Jedino gde po mom mišljenju može da dođe do zabune je kada je potkorena veličina neparnog korena negativna. Ali, čak i tada mislim da treba raditi u kompleksnom domenu pošto bi se rad u realnom domenu sveo na trivijalno izračunavanje odgovarajućeg korena. Jedini izuzetak bi bio u osnovnoj školi kada se deca tek upoznaju sa operacijama stepenovanja i korenovanja, ali to je ipak neka druga priča. Kao i uvek, naglašavam da je ovo moje mišljenje i prihvatam da je možda pogrešno.

Da rezimiram ono sto sam shvatio po svim dosadasnjim objasnjenjima i uputstvima.
Na primer, dokazati da je [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath].
Ovo cu posmatrati kao jednacinu [inlmath]\sqrt{-1}=a[/inlmath]. Posto se ispod kvadratnog korena nalazi negativna vrednost resenje jednacine ce biti kompleksan broj, pa [inlmath]a[/inlmath] mogu zapisati kao [inlmath]x+iy[/inlmath]. Za razliku od korenovanja u skupu realnih brojeva, pri korenovanju kompleksnih brojeva dobijamo dve vrednosti koje se medjusobno razlikuju po znaku ([inlmath]z_1=-z_2)[/inlmath]. Prema tome jednacina se svodi na
[dispmath]\sqrt{-1}=\pm(x+iy)[/dispmath] Posto u skupu kompleksnih brojeva ne postoje pozitivni i negativni brojevi, mogu jednostavno kvadrirati obe strane, nakon cega se dobija
[dispmath]-1=x^2+i2xy-y^2[/dispmath] Sad izjednacavam realne delove sa realnim, a imaginarne sa imaginarnim. Dobijam sistem od dve jednacine sa dve nepoznate
[dispmath]x^2-y^2=-1\\
2xy=0[/dispmath] Resenje ovog sistema je [inlmath]x=0,\;y=\pm1[/inlmath].
Prema tome [inlmath]a[/inlmath] mozemo zapisati kao [inlmath]0\pm i\;\Longrightarrow\;a=\pm i[/inlmath]. Ovim je tvrdjenje [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath] dokazano.
Sudceni po ovom u zadatak sa pocetne teme da glasi [inlmath]\sqrt{3-4i}=\pm(x+iy)[/inlmath]?
Nadam se da sam koliko-toliko pohvatao osnovna pravila korenovanja kompleksnih brojeva.

miletrans je napisao:Sa druge strane, ako je potkorena veličina nenegativan realan broj, opet nema dileme (opet naglašavam, ovo važi samo ako nije eksplicitno navedeno da zadatak treba rešiti u skupu kompleksnih brojeva). Jedino gde po mom mišljenju može da dođe do zabune je kada je potkorena veličina neparnog korena negativna. Ali, čak i tada mislim da treba raditi u kompleksnom domenu pošto bi se rad u realnom domenu sveo na trivijalno izračunavanje odgovarajućeg korena.

S ovim se baš ne bih sasvim složio. Ako nije navedeno u kom domenu se vrši korenovanje, tada je jedino nesporno ako korenujemo nulu, jer kako god okreneš dobijamo jedno rešenje (nulu), nezavisno od toga da li korenujemo u realnom ili u kompleksnom domenu. Za sve ostale vrednosti broj rezultata zavisi od domena:
[inlmath]\sqrt1[/inlmath] – ako je korenovanje u realnom domenu, dobijamo vrednost [inlmath]1[/inlmath]; ako je korenovanje u kompleksnom domenu, dobijamo vrednosti [inlmath]\pm1[/inlmath].
[inlmath]\sqrt[3]1[/inlmath] – ako je korenovanje u realnom domenu, dobijamo vrednost [inlmath]1[/inlmath]; ako je korenovanje u kompleksnom domenu, dobijamo vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath].
[inlmath]\sqrt[3]{-1}[/inlmath] – ako je korenovanje u realnom domenu, dobijamo vrednost [inlmath]-1[/inlmath]; ako je korenovanje u kompleksnom domenu, dobijamo vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath].
Čak ni za parni koren negativne veličine ne bih se baš usudio da kažem da je tu stvar jasna ukoliko nije naveden domen. Ne mora značiti, ako imamo npr. [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], da smo u kompleksnom domenu – možemo ostati u realnom domenu i reći da ta vrednost nije definisana.

Frank je napisao:pri korenovanju kompleksnih brojeva dobijamo dve vrednosti koje se medjusobno razlikuju po znaku ([inlmath]z_1=-z_2)[/inlmath].

Ja bih izbegao da za kompleksne vrednosti koristim izraz „razlikuju se po znaku“, jer smo zaključili da kod kompleksnih veličina nema smisla govoriti da su poztivine odnosno negativne. Ali, da, zapis [inlmath]z_1=-z_2[/inlmath] jeste korektan. Sve ostalo što si naveo je OK.