MATEMANIJA

Pozdrav svima! Zadatak glasi: Resiti kvadratnu jednacinu [inlmath]z^2-(2+i)z+(-1+7i)=0[/inlmath]. Resenja jednacine su [inlmath]z_1=-1+2i,\;z_2=3-i[/inlmath]
Moj postupak je sledeci:
[dispmath]z_{1/2}=\frac{2+i\pm\sqrt{4+4i-1+4-28i}}{2}[/dispmath][dispmath]z_{1/2}=\frac{2+i\pm\sqrt{7-24i}}{2}[/dispmath] Sada sam posebno sredio [inlmath]\sqrt{D}[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{7-24i}=x+iy\hspace{2mm}\big/^2\\
7-24i=x^2+2xyi-y^2\\
x^2+y^2=7\quad\land\quad{xy=-12}\\
x=-\frac{12}{y},\;y\ne0[/dispmath] Resenje sistema je [inlmath]y=\pm4,\;x=\mp3[/inlmath], pa je [inlmath]\sqrt{D}=\mp3\pm4i[/inlmath]. Sad to vratim u jednacinu
[dispmath]z_{1/2}=\frac{2+i\pm(3-4i)}{2}\\
z_1=\frac{5-3i}{2}\\
z_2=\frac{5i-1}{2}[/dispmath] Identicna resenja dobijem i kad u formulu ubacim drugu vrednost [inlmath]\sqrt{D}[/inlmath], [inlmath]-3+4i[/inlmath]. Gde je greska? Hvala!

Jesi li pokušao da, radi traženja greške, dobijena rešenja uvrstiš u sistem jednačina koji si dobio, i proveriš da li je time sistem zadovoljen?

BTW prva jednačina sistema, [inlmath]x^2+y^2=7[/inlmath], nije ispravna.

Daniel je napisao:BTW prva jednačina sistema, [inlmath]x^2+y^2=7[/inlmath], nije ispravna.

Da, treba da bude [inlmath]x^2-y^2=7[/inlmath], pa ceo sistem glasi [inlmath]x^2-y^2=7,\hspace{1mm}xy=-12[/inlmath].
Pa da dovrsim zadatak;
[dispmath]x^2-y^2=7\quad\land\quad xy=-12\\
x=-\frac{12}{y},\;y\ne0\\
\left(-\frac{12}{y}\right)^2-y^2=7\\
\frac{144}{y^2}-y^2=7,\quad y^2=t>0\\
\frac{144}{t}-t=7\hspace{3mm}\Big/\cdot t\\
t^2+7t-144=0\\
t_1=9\hspace{1.5mm}\top\hspace{10mm}t_2=-16<0\hspace{1mm}\bot\\
y=\pm\sqrt9=\pm3\;\Longrightarrow\;x=\mp4[/dispmath] Prema tome
[dispmath]D_1=-4+3i\quad\lor\quad D_2=4-3i[/dispmath] Sad se vracam na "glavnu" kvadratnu jednacinu. Uzimam vrednost [inlmath]D_1[/inlmath]
[dispmath]z_{1/2}=\frac{2+i\pm(-4+3i)}{2}\\
z_1=\frac{2+i-4+3i}{2}=\enclose{box}{-1+2i}\\
z_2=\frac{2+i+4-3i}{2}=\enclose{box}{3-i}[/dispmath] Identicna resenja se dobijaju i ako ubacimo [inlmath]D_2[/inlmath] u "glavnu" jednacinu, samo [inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]z_2[/inlmath] zamene mesta.
Hvala na pomoci!