MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
3. zadatak

Ako kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] zadovoljava uslove [inlmath]|z|-i\text{Re}z=5-3i[/inlmath] i [inlmath]\text{Im}z<0[/inlmath], onda je [inlmath](z-2+3i)^6[/inlmath].

[inlmath]A)\;-6;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;-2i;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4i;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;8i;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;2.[/inlmath]

Ne znam kako uopšte da počnem zadatak, nikakva ideja mi ne pada na pamet. Biću zahvalan ako neko može da pomogne.

Kompleksan broj u opstem obliku glasi [inlmath]a+bi[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realni, a [inlmath]b[/inlmath] imaginarni deo ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] su realni brojevi). Modul kompleksnog broja je [inlmath]\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath], pa jednacina dobija oblik
[dispmath]\sqrt{a^2+b^2}+ia=5-3i[/dispmath] Sad izjednacis realne delove sa realnim, a imaginarne sa imaginarnim. Uslov [inlmath]\text{Im}z<0[/inlmath] ti sluzi da odbacis jednu vrednost (nenegativnu) za [inlmath]b[/inlmath].

Pokušao sam sada to da uradim i dobio sam rešenje [inlmath]-82368+94024i[/inlmath] sto definitivno nije rešenje.
Radio sam ovako: [inlmath]x^2+y^2=25[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath]
Kada [inlmath]3[/inlmath] uvrstim u jednacinu dobijem da je [inlmath]y=4[/inlmath] i [inlmath]y=-4[/inlmath], ali zbog uslova sam uzeo negativno resenje. Ocigledno sam negde pogresio ali ne mogu da nadjem tu gresku.

Znači, dobio si da je [inlmath]z=3-4i[/inlmath]? Onda je
[dispmath]z-2+3i=3-4i-2-3i=1-i[/dispmath] Ovaj broj se vrlo "lepo" stepenuje.

Uvideo sam gresku, slucajno sam zamenio realni i imaginarni deo. Hvala