MATEMANIJA

Odrediti [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath]
[dispmath]\left|\frac{\overline{z}-1}{2\cdot z-6}\right|=\frac{1}{2}\\
\land\\
\text{Re}\left(\frac{2\cdot\overline{z}+3}{z+1}\right)=1[/dispmath] nemam uopste ideju kako bi ovo trebalo da ide, pa ako moze neka pomoc?
treba da se dobije resenje oblika
[dispmath]z=a+bi[/dispmath]

Pozdrav, dobro nam došao.

Upravo ti oblik rešenja koji si napisao na neki način sugeriše šta treba da radiš. Zapiši [inlmath]z[/inlmath] u zadatku kao [inlmath]a+bi[/inlmath] (uobičajeno je da se koriste oznake [inlmath]z=x+iy[/inlmath], ali, naravno, to ništa ne menja). Znamo šta je konjugovano kompleksni broj, znamo šta je moduo kopleksnog broja, dobijamo dve jednačine sa dve nepoznate. Detaljno objašnjenje o kompleksnim brojevima i njihovim osobinama imaš ovde. Recimo, za ovaj zadatak bi korisna bila činjenica da je [inlmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}[/inlmath], [inlmath]z_2\ne0[/inlmath].

Posto tek pocinjem sa kompleksnim brojevima bilo bi mi od velike koristi imati postupak ovoga zadatka, pa ako ste u mogucnosti da to uradite. U svakom slucaju hvala.

OK, u svakom slučaju, preporučujem ti da detaljno pročitaš temu o opštim osobinama kompleksnih brojeva koju sam linkovao u prethodnom postu.

Što se tiče ovog zadatka, pokušaću da dam detaljne smernice, ali ga ipak neću uraditi od početka do kraja (to ovde ne radimo). Dakle, imamo kompleksni broj:
[dispmath]z=x+yi[/dispmath] Imamo njemu konjugovani kompleksni broj:
[dispmath]\overline{z}=x-yi[/dispmath] I moduo kompleksnog broja:
[dispmath]\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath] Pre nego što krenemo da radimo, samo da napomenemo da su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]\left|z\right|[/inlmath] realni brojevi.

Sada zapisujemo postavljeni zadatak:
[dispmath]\left|\frac{x-yi-1}{2\cdot\left(x+yi\right)-6}\right|=\left|\frac{x-1-yi}{2x-6+2yi}\right|=\frac{1}{2}[/dispmath] Sada mislim da je najlakše da primenimo osobinu modula kompleksnih brojeva koju sam pomenuo u svom prethodnom postu:
[dispmath]2\left|x-1-yi\right|=\left|2x-6+2yi\right|[/dispmath] Sada ide glavna stvar. Na levoj strani imamo moduo kompleksnog broja čiji je realni deo [inlmath]x-1[/inlmath], a imaginarni [inlmath]y[/inlmath]. Primenjujući definiciju modula kompleksnog broja, levu stranu jednačine možemo da zapišemo kao [inlmath]2\sqrt{(x-1)^2+y^2}[/inlmath]. Primeni isti princip i na desnu stranu i dobićeš jednačinu koja povezuje vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].

Prelazimo na drugu jednačinu:
[dispmath]\text{Re}\left(\frac{2\cdot(x-yi)+3}{x+yi+1}\right)=1[/dispmath] Da bismo eliminisali kompleksni broj u imeniocu, ovaj razlomak proširujemo konjugovanim brojem imenioca:[dispmath]\text{Re}\left(\frac{2\cdot(x-yi)+3}{x+yi+1}\cdot\frac{x+1-yi}{x+1-yi}\right)=1[/dispmath] Sada ovaj izraz u zagradi središ i dobiješ razlomak oblika [inlmath]\frac{A+Bi}{C}[/inlmath] gde su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] realni brojevi koji zavise od [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Tako ćeš dobiti drugu jednačinu koja povezuje [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Dalje ne bi trebalo da bude problema. Ako i dalje "zapinje", napiši šta si radio, šta si pokušao, dokle si stigao i u čemu je problem, pa ćemo da radimo dalje.

Stigao sam do ovog rezultata za 1. jednacinu:
[dispmath]2\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(2\cdot x-6)^2+(2\cdot y)^2}[/dispmath] onda sam "kvadrirao jednacinu" i dobio:
[dispmath]4\cdot(x-1)^2+y^2=(2\cdot x-6)^2+(2\cdot y)^2[/dispmath] zatim radim kvadrat binoma na levoj i desnoj strani i dobijam:
[dispmath]4\cdot x^2-8\cdot x+4+y^2=4\cdot x^2-24\cdot x+36+4y^2[/dispmath] kada sve to sredim dobijem resenje prve jednacine:
[dispmath]16\cdot x-3\cdot y^2=32[/dispmath] problem nastaje u drugoj jednacini kada mi se u razlomku pojavljuju 3 broja do sada sam ucio samo pojavljivanje 2 broja, tu sam zapeo. Ako moze pomoc tu oko tog mnozenja?

Proveri još jednom ovaj korak:

djordjepetrovic je napisao:[dispmath]2\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(2\cdot x-6)^2+(2\cdot y)^2}[/dispmath] onda sam "kvadrirao jednacinu" i dobio:
[dispmath]4\cdot(x-1)^2+y^2=(2\cdot x-6)^2+(2\cdot y)^2[/dispmath]

Pronasao sam gresku trebao sam da dobijem, nadam se da sam pronasao gresku?
[dispmath]4\cdot(x−1)^2+4*y^2=(2\cdot x−6)^2+(2\cdot y)^2[/dispmath] i dobio bi na kraju:
[dispmath]16\cdot x=32\\
x=2[/dispmath]

Moze pomoc oko 2. jednacine?

Izračunao si da je [inlmath]x=2[/inlmath]. Zameni sad tu vrednost u drugu jednačinu, pa sredi razlomke (naravno, znamo da je [inlmath]i^2=-1[/inlmath]) i pomnoži kako sam ti napisao. Da li si to uradio? Šta si dobio?

zamenio sam [inlmath]x[/inlmath] u drugoj jednacini i dobio:
[dispmath]\frac{2\cdot(2- y\cdot i)+3}{3+y\cdot i}\cdot\frac{3-y\cdot i}{3-y\cdot i}=1[/dispmath] zatim sad dobio ovo:
[dispmath]\frac{1-2\cdot y\cdot i}{3+y\cdot i}\cdot\frac{3-y\cdot i}{3-y\cdot i}=1[/dispmath] sledeci korak:
[dispmath]\frac{(1-2\cdot y\cdot i)\cdot(3-y\cdot i)}{3^2-(y\cdot i)^2}=1[/dispmath] dobio sam razliku kvadrata; i kada sve sredim dobijem:
[dispmath]\frac{3-7\cdot y\cdot i-2\cdot y^2}{9-(y\cdot i)^2}=1[/dispmath] i ovde je zaribalo...

Uradis ovako:
[dispmath]\frac{2\cdot(2-yi)+3}{2+yi+1}=\frac{4-2iy+3}{2+iy+1}\\
\frac{7-2iy}{3+iy}\cdot\frac{3-iy}{3-iy}\\
\frac{(7-2iy)(3-iy)}{9+y^2}\\
\frac{21-13iy-2y^2}{9+y^2}=\frac{21-2y^2}{9+y^2}+i\frac{-13y}{9+y^2}[/dispmath] Izjednaci sada realni dio sa [inlmath]1[/inlmath], kako bi pronašao [inlmath]y[/inlmath].
Trebalo bi da su rješenja [inlmath]z_1=2+2i\;\land\;z_2=2-2i[/inlmath].

Dakle, prva greška je bila ovde,

djordjepetrovic je napisao:[dispmath]\frac{2\cdot(2- y\cdot i)+3}{3+y\cdot i}\cdot\frac{3-y\cdot i}{3-y\cdot i}=1[/dispmath]

zaboravio si da napišeš oznaku za realni deo, tj. treba da bude
[dispmath]{\color{red}\text{Re}}\left(\frac{2\cdot(2- y\cdot i)+3}{3+y\cdot i}\cdot\frac{3-y\cdot i}{3-y\cdot i}\right)=1[/dispmath] Drugim rečima, posmatramo samo realni deo izraza u zagradi, i on treba da bude jednak jedinici. Imaginarni deo postoji, ali nas ne zanima.

Druga greška je već u narednom koraku:

djordjepetrovic je napisao:[dispmath]\frac{{\color{red}1}-2\cdot y\cdot i}{3+y\cdot i}\cdot\frac{3-y\cdot i}{3-y\cdot i}=1[/dispmath]

Umesto crvene jedinice, naravno, treba sedmica.