MATEMANIJA

Zdravo, ja sam srednjoskolac ali nasao sam kod mog prijatelja inace studenta jedan zanimljiv zadatak, iz oblasti kompleksnih brojeva, koji nisam mogao resit.Zadatak glasi

Odrediti
[dispmath]i^i[/dispmath]

Zdravo, zaista zanimljiv zadatak i priznajem da nisam dosad viđao ovako nešto.
Ali, to ne bi trebalo da bude problem za rešavanje, ako se [inlmath]i[/inlmath] napiše u eksponencijalnom obliku:
[dispmath]i=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)},\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Tada je
[dispmath]i^i=\left[e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}\right]^i=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\cdot i}=e^{-\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}=e^{-\frac{\pi}{2}-2k\pi}=e^{-\frac{\pi}{2}+2k\pi},\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Znači, dobija se realan broj. Za [inlmath]k=0[/inlmath] on iznosi [inlmath]e^{-\frac{\pi}{2}}\approx 0,2079[/inlmath]