MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 3. jul 2014.
2. zadatak

Pozdrav,
Zapeo sam kod jednog zadatka u vezi kompleksnih brojeva. Zadatak ne mogu da linkujem, pošto još uvek nije obrađivan nijedan zadatak sa tog roka, pa ću navesti ovde tekst;

Ako je [inlmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7[/inlmath] gde je [inlmath]i^2=-1[/inlmath], onda je [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] jednako;
Tačan odgovor je [inlmath]-1[/inlmath]

Pokušao sam prvo da ga rešim preko Moavrove formule, ali nju neću ispisati ovaj put pošto ima i kraći postupak (dobijam i sa jednim i sa drugim isti rezultat);
[dispmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2\right)^3\\
\frac{1-i}{\sqrt2}-i^{-3}[/dispmath] Kad se ovo sredi, dobijam izraz u obliku [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath]
Prema ovome, imaginarni deo bi bio [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], iz čega sledi će [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] biti [inlmath]2^{1007}[/inlmath] što nije tačno.
Ne znam gde sam mogao da napravim lapsus
Hvala unapred na sugestiji.

Pozdrav,
vodi računa da [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] nije isto što i [inlmath](\text{Im }(z))^{2014}[/inlmath] (kao ni što, na primer, [inlmath]\sin x^2[/inlmath] nije isto što i [inlmath]\sin^2x[/inlmath]).
Preporučujem ti da pogledaš ovu temu.
Nisam detaljno gledao postupak, ali bih ovako, na prvu, rekao da je dobar.

Sad baš gledam link, ali još uvek ne mogu da skopčam gde sam propust napravio.

Kako si iz [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath] zaključio da je [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] jednako [inlmath]2^{1007}[/inlmath]?

Imaginarni deo broja [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]
Pa sam onda taj deo dizao na [inlmath]2014[/inlmath] stepen.
Pre stepenovanja, rastavio sam [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] na [inlmath]\sqrt2[/inlmath] i kada stepenujem na [inlmath]2014[/inlmath] dobijem to rešenje.
Verovatno je baš u tom poslednjem koraku greška, čim mi nije tačno, ali ne uočavam šta sam trebao da uradim.

Frank je napisao:vodi računa da [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] nije isto što i [inlmath](\text{Im }(z))^{2014}[/inlmath] (kao ni što, na primer, [inlmath]\sin x^2[/inlmath] nije isto što i [inlmath]\sin^2x[/inlmath])

Ilustrovao bih primerom ovo na šta ti je Frank skrenuo pažnju. Zamislimo neki kompleksni broj [inlmath]z=a+ib[/inlmath].

Ako bismo prvo našli imaginarni deo, pa ga zatim stepenovali dvojkom:
Imaginarni deo je [inlmath]b[/inlmath], stepenujemo ga dvojkom i dobijemo [inlmath]b^2[/inlmath]. To jest, [inlmath](\text{Im }z)^2=\bigl(\text{Im }(a+ib)\bigr)^2=b^2[/inlmath]

S druge strane, ako bismo prvo stepenovali dvojkom, pa zatim od toga našli imaginarni deo:
Kvadrat broja [inlmath]z=a+ib[/inlmath] iznosi [inlmath]a^2-b^2+i2ab[/inlmath], imaginarni deo od toga je [inlmath]2ab[/inlmath]. To jest, [inlmath]\text{Im }z^2=\text{Im}\left(a^2-b^2+i2ab\right)=2ab[/inlmath]

Odavde se jasno vidi da je [inlmath](\text{Im }z)^2\ne\text{Im }z^2[/inlmath].
Naravno, isto tako važi i [inlmath](\text{Im }z)^{2014}\ne\text{Im }z^{2014}[/inlmath].

Acim je napisao:Prema ovome, imaginarni deo bi bio [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], iz čega sledi će [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] biti [inlmath]2^{1007}[/inlmath] što nije tačno.

Čak i da je ovde trebalo [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] dići na [inlmath]2014.[/inlmath] stepen, rezultat ne bi bio [inlmath]2^{1007}[/inlmath] već bi bio [inlmath]2^{-1007}[/inlmath].

Biće da onda nisam razumeo zadatak. Ali zbog čega je onda zadat izraz na sedmi stepen, kad se na kraju traži imaginarni deo tog broja na [inlmath]2014[/inlmath]? Da li je onda trebalo da stepenujem izraz na [inlmath]2014[/inlmath] pa da onda nađem imaginarni deo?

Dakle, dat je kompleksan broj [inlmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7[/inlmath], a traži se imaginaran deo broja [inlmath]z^{2014}[/inlmath], ovde ne vidim ništa sporno
Sve je dobro do koraka

Acim je napisao:Kad se ovo sredi, dobijam izraz u obliku [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath]

a kako da dovršiš zadatak rečeno je u prethodnim postovima.
Dakle, [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath] pretvori u trigonometrijski oblik, pa primeni Moavrovu formulu, pa tek onda odredi [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath]

Acim je napisao:Ali zbog čega je onda zadat izraz na sedmi stepen, kad se na kraju traži imaginarni deo tog broja na [inlmath]2014[/inlmath]?

Izraz na sedmi stepen je zadat jer on predstavlja vrednost broja [inlmath]z[/inlmath]. E kad si odredio vrednost broja [inlmath]z[/inlmath], onda tu vrednost stepenuješ brojem [inlmath]2014[/inlmath], i odrediš imaginarni deo toga što si dobio (jer tražiš imaginarni deo od [inlmath]z^{2014}[/inlmath]).

Acim je napisao:Da li je onda trebalo da stepenujem izraz na [inlmath]2014[/inlmath] pa da onda nađem imaginarni deo?

Upravo tako, a ne obrnuto. Traži se [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath]. Zagrada označava da se ono što je unutar nje – prvo računa. Isto kao što se npr. u izrazu [inlmath]5-(2+1)[/inlmath] prvo računa ono što je unutar zagrade.

---

Ovde se čak može i preskočiti određivanje samog broja [inlmath]z[/inlmath].
Naime, pošto treba da nađemo [inlmath]z^{2014}[/inlmath] (kako bismo nakon toga odredili njegov imaginarni deo), a [inlmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7[/inlmath], to je
[dispmath]z^{2014}=\left(\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7\right)^{2014}=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{7\cdot2014}=\\
=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2\cdot7\cdot1007}=\left(\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2\right)^{7\cdot1007}=(-i)^{7\cdot1007}=\cdots[/dispmath] Dakle, sama vrednost [inlmath]z[/inlmath] nam nije potrebna.