MATEMANIJA

Pozdrav, evo odlučija sam otvorit novu temu za kompleksne brojeve i par zadataka

1. Odredi cijeli broj [inlmath]a[/inlmath], tako da imaginarni dio kompleksnog broja [dispmath]z=\frac{a+2ai}{i-a}+3i[/dispmath] bude jednak [inlmath]3[/inlmath]?
Rj: [inlmath]0[/inlmath]

2. Odredi kompleksne brojeve [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]w[/inlmath] iz sustava jednadžbi:
[dispmath]z\times i-\overline{w}=-2-i\\
\overline{z}+w\times i=3[/dispmath]
Rj: [inlmath]z=1+i,\;w=1-2i[/inlmath]

blake je napisao:1. Odredi cijeli broj [inlmath]a[/inlmath], tako da imaginarni dio kompleksnog broja [dispmath]z=\frac{a+2ai}{i-a}+3i[/dispmath] bude jednak [inlmath]3[/inlmath]?
Rj: [inlmath]0[/inlmath]

Potrebno je da ovaj kompleksan broj napišeš u obliku zbira njegovog realnog i imaginarnog dela, tj. nešto [inlmath]+i[/inlmath] puta nešto.
Treba da se dobije
[dispmath]z=\frac{a^2-2a}{-1-a^2}+i\frac{-a^2+a-3}{-1-a^2}[/dispmath]
I kad imaginarni deo izjednačiš sa [inlmath]3[/inlmath], tj.
[dispmath]\frac{-a^2+a-3}{-1-a^2}=3[/dispmath]
dobiješ dva rešenja, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath], ali pošto u zadatku piše da je [inlmath]a[/inlmath] ceo broj, drugo rešenje otpada i ostaje samo [inlmath]0[/inlmath].

blake je napisao:2. Odredi kompleksne brojeve [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]w[/inlmath] iz sustava jednadžbi:
[dispmath]z\times i-\overline{w}=-2-i\\
\overline{z}+w\times i=3[/dispmath]
Rj: [inlmath]z=1+i,\;w=1-2i[/inlmath]

(Pretpostavljam da ti ove „putače“ predstavljaju množenje? OK, vidim sad da u Latex-uputstvu nisam dovoljno naglasio komandu \cdot, koja je upravo i predviđena za množenje. Moja greška, ispraviću to.
***EDIT*** Uputstvo dopunjeno.)
[dispmath]z\cdot i-\overline w=-2-i\\
\overline z+w\cdot i=3[/dispmath]
Svaki od ova dva kompleksna broja napišemo kao zbir njegovog realnog i imaginarnog dela:
[dispmath]z=a+ib\\
w=c+id[/dispmath]
i jednačine postaju
[dispmath]\left(a+ib\right)\cdot i-\left(c-id\right)=-2-i\\
a-ib+\left(c+id\right)\cdot i=3[/dispmath]
I kad to sračunaš, dobićeš dva sistema od dve jednačine s dve nepoznate.

Jedan sistem od dve jednačine s dve nepoznate će ti biti:
[dispmath]a+d=-1\\
a-d=3[/dispmath]
a drugi će biti:
[dispmath]-b-c=-2\\
-b+c=0[/dispmath]
I njihovim rešavanjem dobiješ upravo one vrednosti koje i imaš u rešenju.

2.
Ja dođem do tu
[dispmath]i(a+d+1)-b-c=-2\\
i(-b+c)+a-d=3[/dispmath]

Daniel je napisao:Jedan sistem od 2 jednačine s 2 nepoznate će ti biti:
[dispmath]a+d=-1\\
a-d=3[/dispmath]
a drugi će biti:
[dispmath]-b-c=-2\\
-b+c=0[/dispmath]
I njihovim rešavanjem dobiješ upravo one vrednosti koje i imaš u rešenju.

Ne razumin

blake je napisao:2.
Ja dođem do tu
[dispmath]i(a+d+1)-b-c=-2\\
i(-b+c)+a-d=3[/dispmath]

Pa odlično si uradio. Sada samo izjednačiš realne i imaginarne delove.
Prvi izraz središ ovako:
[dispmath]\left(-b-c\right)+i\left(a+d+1\right)=-2+i\cdot 0[/dispmath]
Odatle sledi
[dispmath]-b-c=-2[/dispmath]
i
[dispmath]a+d+1=0\quad\Rightarrow\quad a+d=-1[/dispmath]
Isto uradiš i s drugim izrazom,
[dispmath]\left(a-d\right)+i\left(-b+c\right)=3+i\cdot 0[/dispmath]
odakle sledi
[dispmath]a-d=3[/dispmath]
i
[dispmath]-b+c=0[/dispmath]
Znači, sada za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] imaš dve jednačine:
[dispmath]a+d=-1\\
a-d=3[/dispmath]
Kad ih sabereš, biće [inlmath]2a=-1+3=2\quad\Rightarrow\quad\underline{a=1}[/inlmath]
Zamenom u prvu jednačinu (a mogli smo i u drugu, svejedno je) dobićemo
[dispmath]1+d=-1\quad\Rightarrow\quad\underline{d=-2}[/dispmath]
Isto tako, za [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] imaš dve jednačine:
[dispmath]-b-c=-2\\
-b+c=0[/dispmath]
Kad ih sabereš, biće [inlmath]-2b=-2+0=-2\quad\Rightarrow\quad\underline{b=1}[/inlmath]
Zamenom u prvu jednačinu dobićemo
[dispmath]-1-c=-2\quad\Rightarrow\quad\underline{c=1}[/dispmath]
Pa će traženi kompleksni brojevi biti:
[dispmath]z=a+ib=1+i\\
w=c+id=1-2i[/dispmath]
'El sad OK?

Trebalo je malo buljenja u dio kad dodaš ˝[inlmath]\cdots +i\cdot 0[/inlmath]˝ i kad unutar jednadžbe promatraš realni i imaginarni dio odvojeno i kad ih odvajaš pošto ovakve zadatke nismo rješavali u školi... Ali da, sve je OK sad

Je li rezultat [inlmath]i+i^4+i^7+i^{10}+\cdots +i^{103}\quad 1[/inlmath] ili [inlmath]-1[/inlmath] i na koji se način to dobije?

To ti je geometrijski niz. Prvi član mu je [inlmath]a_1=i[/inlmath], količnik niza je [inlmath]q=i^3[/inlmath], a sâm niz se može napisati kao
[dispmath]\sum_{k=1}^{35} i^{3k-2}[/dispmath]
prema tome, traži se suma od [inlmath]n=35[/inlmath] članova ovog niza.

Suma geometrijskog niza se računa po formuli
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Znaš dalje?

Dobije se [inlmath]S_{35}=1[/inlmath].

Uuu, to nismo radili, a prof. nam je svejedno podijelila ove zadatke za vježbat preko praznika
Vjerojatno ćemo sljedeće polugodište to učiti...

ZDK: Ako je [inlmath]z=\frac{1}{1-i}[/inlmath] onda je [inlmath]|z-1+i|=[/inlmath]

Ne mogu dobiti [inlmath]\frac{\sqrt{10}}{2}[/inlmath] nikako

[dispmath]\left|z-1+i\right|=\left|\frac{1}{1-i}-1+i\right|=\left|\frac{1}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}-1+i\right|=\left|\frac{1+i}{1^2-i^2}-1+i\right|=\left|\frac{1+i}{2}-1+i\right|=[/dispmath][dispmath]=\left|\frac{1+i}{2}-\frac{2-i2}{2}\right|=\left|\frac{-1+i3}{2}\right|=\left|\frac{-1}{2}+\frac{i3}{2}\right|=\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}[/dispmath]