MATEMANIJA

Pozdrav, evo odlučija sam otvorit novu temu za kompleksne brojeve i par zadataka

1. Odredi cijeli broj [inlmath]a[/inlmath], tako da imaginarni dio kompleksnog broja [dispmath]z=\frac{a+2ai}{i-a}+3i[/dispmath] bude jednak [inlmath]3[/inlmath]?
Rj: [inlmath]0[/inlmath]

2. Odredi kompleksne brojeve [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]w[/inlmath] iz sustava jednadžbi:
[dispmath]z\times i-\overline{w}=-2-i\\
\overline{z}+w\times i=3[/dispmath]
Rj: [inlmath]z=1+i,\;w=1-2i[/inlmath]

blake je napisao:1. Odredi cijeli broj [inlmath]a[/inlmath], tako da imaginarni dio kompleksnog broja [dispmath]z=\frac{a+2ai}{i-a}+3i[/dispmath] bude jednak [inlmath]3[/inlmath]?
Rj: [inlmath]0[/inlmath]

Potrebno je da ovaj kompleksan broj napišeš u obliku zbira njegovog realnog i imaginarnog dela, tj. nešto [inlmath]+i[/inlmath] puta nešto.
Treba da se dobije
[dispmath]z=\frac{a^2-2a}{-1-a^2}+i\frac{-a^2+a-3}{-1-a^2}[/dispmath]
I kad imaginarni deo izjednačiš sa [inlmath]3[/inlmath], tj.
[dispmath]\frac{-a^2+a-3}{-1-a^2}=3[/dispmath]
dobiješ dva rešenja, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath], ali pošto u zadatku piše da je [inlmath]a[/inlmath] ceo broj, drugo rešenje otpada i ostaje samo [inlmath]0[/inlmath].

blake je napisao:2. Odredi kompleksne brojeve [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]w[/inlmath] iz sustava jednadžbi:
[dispmath]z\times i-\overline{w}=-2-i\\
\overline{z}+w\times i=3[/dispmath]
Rj: [inlmath]z=1+i,\;w=1-2i[/inlmath]

(Pretpostavljam da ti ove „putače“ predstavljaju množenje? OK, vidim sad da u Latex-uputstvu nisam dovoljno naglasio komandu \cdot, koja je upravo i predviđena za množenje. Moja greška, ispraviću to.
***EDIT*** Uputstvo dopunjeno.)
[dispmath]z\cdot i-\overline w=-2-i\\
\overline z+w\cdot i=3[/dispmath]
Svaki od ova dva kompleksna broja napišemo kao zbir njegovog realnog i imaginarnog dela:
[dispmath]z=a+ib\\
w=c+id[/dispmath]
i jednačine postaju
[dispmath]\left(a+ib\right)\cdot i-\left(c-id\right)=-2-i\\
a-ib+\left(c+id\right)\cdot i=3[/dispmath]
I kad to sračunaš, dobićeš dva sistema od dve jednačine s dve nepoznate.

Jedan sistem od dve jednačine s dve nepoznate će ti biti:
[dispmath]a+d=-1\\
a-d=3[/dispmath]
a drugi će biti:
[dispmath]-b-c=-2\\
-b+c=0[/dispmath]
I njihovim rešavanjem dobiješ upravo one vrednosti koje i imaš u rešenju.

2.
Ja dođem do tu
[dispmath]i(a+d+1)-b-c=-2\\
i(-b+c)+a-d=3[/dispmath]

Daniel je napisao:Jedan sistem od 2 jednačine s 2 nepoznate će ti biti:
[dispmath]a+d=-1\\
a-d=3[/dispmath]
a drugi će biti:
[dispmath]-b-c=-2\\
-b+c=0[/dispmath]
I njihovim rešavanjem dobiješ upravo one vrednosti koje i imaš u rešenju.

Ne razumin

blake je napisao:2.
Ja dođem do tu
[dispmath]i(a+d+1)-b-c=-2\\
i(-b+c)+a-d=3[/dispmath]

Pa odlično si uradio. Sada samo izjednačiš realne i imaginarne delove.
Prvi izraz središ ovako:
[dispmath]\left(-b-c\right)+i\left(a+d+1\right)=-2+i\cdot 0[/dispmath]
Odatle sledi
[dispmath]-b-c=-2[/dispmath]
i
[dispmath]a+d+1=0\quad\Rightarrow\quad a+d=-1[/dispmath]
Isto uradiš i s drugim izrazom,
[dispmath]\left(a-d\right)+i\left(-b+c\right)=3+i\cdot 0[/dispmath]
odakle sledi
[dispmath]a-d=3[/dispmath]
i
[dispmath]-b+c=0[/dispmath]
Znači, sada za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] imaš dve jednačine:
[dispmath]a+d=-1\\
a-d=3[/dispmath]
Kad ih sabereš, biće [inlmath]2a=-1+3=2\quad\Rightarrow\quad\underline{a=1}[/inlmath]
Zamenom u prvu jednačinu (a mogli smo i u drugu, svejedno je) dobićemo
[dispmath]1+d=-1\quad\Rightarrow\quad\underline{d=-2}[/dispmath]
Isto tako, za [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] imaš dve jednačine:
[dispmath]-b-c=-2\\
-b+c=0[/dispmath]
Kad ih sabereš, biće [inlmath]-2b=-2+0=-2\quad\Rightarrow\quad\underline{b=1}[/inlmath]
Zamenom u prvu jednačinu dobićemo
[dispmath]-1-c=-2\quad\Rightarrow\quad\underline{c=1}[/dispmath]
Pa će traženi kompleksni brojevi biti:
[dispmath]z=a+ib=1+i\\
w=c+id=1-2i[/dispmath]
'El sad OK?

Trebalo je malo buljenja u dio kad dodaš ˝[inlmath]\cdots +i\cdot 0[/inlmath]˝ i kad unutar jednadžbe promatraš realni i imaginarni dio odvojeno i kad ih odvajaš pošto ovakve zadatke nismo rješavali u školi... Ali da, sve je OK sad

Je li rezultat [inlmath]i+i^4+i^7+i^{10}+\cdots +i^{103}\quad 1[/inlmath] ili [inlmath]-1[/inlmath] i na koji se način to dobije?

To ti je geometrijski niz. Prvi član mu je [inlmath]a_1=i[/inlmath], količnik niza je [inlmath]q=i^3[/inlmath], a sâm niz se može napisati kao
[dispmath]\sum_{k=1}^{35} i^{3k-2}[/dispmath]
prema tome, traži se suma od [inlmath]n=35[/inlmath] članova ovog niza.

Suma geometrijskog niza se računa po formuli
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Znaš dalje?

Dobije se [inlmath]S_{35}=1[/inlmath].

Uuu, to nismo radili, a prof. nam je svejedno podijelila ove zadatke za vježbat preko praznika
Vjerojatno ćemo sljedeće polugodište to učiti...

ZDK: Ako je [inlmath]z=\frac{1}{1-i}[/inlmath] onda je [inlmath]|z-1+i|=[/inlmath]

Ne mogu dobiti [inlmath]\frac{\sqrt{10}}{2}[/inlmath] nikako

[dispmath]\left|z-1+i\right|=\left|\frac{1}{1-i}-1+i\right|=\left|\frac{1}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}-1+i\right|=\left|\frac{1+i}{1^2-i^2}-1+i\right|=\left|\frac{1+i}{2}-1+i\right|=[/dispmath][dispmath]=\left|\frac{1+i}{2}-\frac{2-i2}{2}\right|=\left|\frac{-1+i3}{2}\right|=\left|\frac{-1}{2}+\frac{i3}{2}\right|=\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}[/dispmath]

blake je napisao:Uuu, to nismo radili, a prof. nam je svejedno podijelila ove zadatke za vježbat preko praznika
Vjerojatno ćemo sljedeće polugodište to učiti...

Razmišljao sam o tom zadatku, kako bi to moglo i bez primene formule za geometrijski niz...

blake je napisao:Je li rezultat [inlmath]i+i^4+i^7+i^{10}+\cdots +i^{103}\quad 1[/inlmath] ili [inlmath]-1[/inlmath] i na koji se način to dobije?

Moguće je uočiti periodičnost u ovim sabircima:
[inlmath]i=i\\
i^4=1\\
i^7=-i\\
i^{10}=-1[/inlmath]
i dalje se periodično ponavlja, za svaku narednu grupu od četiri sabirka:
[inlmath]i^{13}=i[/inlmath]
itd...
Unutar svake grupe, zbir njena četiri člana je uvek [inlmath]i+1+\left(-i\right)+\left(-1\right)[/inlmath], a to je [inlmath]0[/inlmath].
To znači, ako bismo sabirali prvih [inlmath]4n[/inlmath] članova ovog niza, gde je [inlmath]n[/inlmath] bilo koji prirodan broj, zbir bi bio nula.
Pošto u našem slučaju imamo [inlmath]35[/inlmath] sabiraka, znači da fali jedan sabirak da bi ih bilo [inlmath]36[/inlmath] tj. [inlmath]4n[/inlmath] sabiraka.
Kada bi ih bilo [inlmath]36[/inlmath], zbir bi bio nula, a pošto ih je [inlmath]35[/inlmath], to znači da od nule treba oduzeti vrednost tog sabirka koji bi bio [inlmath]36.[/inlmath] po redu.
A pošto je, unutar svake grupe od četiri sabirka, vrednost poslednjeg sabirka jednaka [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], znači da od nule treba oduzeti [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].
I na taj način dobijamo rezulutat [inlmath]1[/inlmath].

Ma slijedeće polugodište ću proučit taj zadatak

1.
Ako je [inlmath]z=\frac{\sqrt2-i}{1-i}[/inlmath], koliko iznosi [inlmath]z\cdot\overline z[/inlmath]
[dispmath]z=\frac{\sqrt 2-i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{\sqrt 2+\sqrt 2i-i+1}{2}=i\frac{\left(\sqrt 2-1\right)}{2}+\frac{\sqrt 2+1}{2}[/dispmath][dispmath]z\cdot\overline z=\left(\frac{\left(i\sqrt 2-i\right)}{2}+\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)\cdot\left(\frac{\left(i\sqrt 2-i\right)}{2}-\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{i\sqrt 2-i}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)^2=\frac{-2-2\sqrt 2i^2-1-\left(2+2\sqrt 2+1\right)}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}[/dispmath]
Je li ovo točno, u rješenju nema predznaka 'minus'

---

2.
Odredi realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednakosti: [inlmath]\frac{(3-i)a+(1+2i)b}{1+i}=2+3i[/inlmath]
Rj: [inlmath](a=-1,\;b=2)[/inlmath]
U ovom sam zadatku odluta u slipu ulicu

---

3. Za koji realni broj [inlmath]x[/inlmath] će imaginarni dio kompleksnog broja [inlmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}[/inlmath] biti jednak [inlmath]1[/inlmath]?
Prvo šta tu napravim je prebacim [inlmath]2x-i^{2011}[/inlmath] u nazivnik ovog razlomka, zatim malo sredim te racionaliziram razlomak s njegovom recipročnom vrijednošću nazivnika tj s [inlmath]x+i[/inlmath] i dobijem: [dispmath]\frac{i\left(3x^2-x-1\right)-2x+2x^3+1}{x^2+1}[/dispmath]
I onda [dispmath]\frac{3x^2-x-1}{x^2+1}=1[/dispmath]
I dobijem [dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt15}{4}[/dispmath]

blake je napisao:Je li ovo točno, u rješenju nema predznaka 'minus'

Pa, pošto je [inlmath]z\cdot\overline z[/inlmath] zapravo jednak kvadratu modula broja [inlmath]z[/inlmath], a kvadrat modula ne može biti negativan, definitivno ne može biti minus.
Ti si zbrljo zato što si, kad si napisao [inlmath]\overline z[/inlmath] (na kraju drugog reda), stavio minus ispred realnog dela, umesto ispred imaginarnog. A zbunilo te možda to što si za broj [inlmath]z[/inlmath] prvo napisao imaginarni deo, pa zatim realni (na kraju prvog reda). Uvek piši obrnuto – znači, prvo realni, pa imaginarni.

Ali, uopšte i ne moraš [inlmath]z\cdot\overline z[/inlmath] računati na ovaj način.
Jednostavniji način je da, kada si odredio realan i imaginaran deo broja [inlmath]z[/inlmath], sada samo nađeš kvadrat njegovog modula, tj. [inlmath]\left|z\right|^2[/inlmath], jer je to, zapravo, ono što se traži, budući da je, kako već napisah, [inlmath]\left|z\right|^2=z\cdot\overline z[/inlmath].
Znači,
[dispmath]z\cdot\overline z=\left|z\right|^2=\left(\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt 2-1}{2}\right)^2[/dispmath]

I stvarno, nemojte se ustručavati da otvarate nove teme za različite zadatke... Jer, ako se ovako nastavi, da se gomila zadataka trpa u jednu istu temu, doći ćemo u situaciju da ćemo na forumu imati svega desetak tema a svaka će imati na desetine, pa i stotine strana...

blake je napisao:2.
Odredi realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednakosti: [inlmath]\frac{(3-i)a+(1+2i)b}{1+i}=2+3i[/inlmath]
Rj: [inlmath](a=-1,\;b=2)[/inlmath]
U ovom sam zadatku odluta u slipu ulicu

[dispmath]\frac{\left(3-i\right)a+\left(1+2i\right)b}{1+i}=2+3i[/dispmath][dispmath]\left(3-i\right)a+\left(1+2i\right)b=\left(1+i\right)\left(2+3i\right)[/dispmath][dispmath]3a-ia+b+i2b=2+2i+3i-3[/dispmath][dispmath]\left(3a+b+1\right)+i\left(-a+2b-5\right)=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 3a+b=-1\quad\land\quad -a+2b=5[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad a=-1,\:b=2[/dispmath]

blake je napisao:

blake je napisao:3. Za koji realni broj [inlmath]x[/inlmath] će imaginarni dio kompleksnog broja [inlmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}[/inlmath] biti jednak [inlmath]1[/inlmath]?
Prvo šta tu napravim je prebacim [inlmath]2x-i^{2011}[/inlmath] u nazivnik ovog razlomka, zatim malo sredim te racionaliziram razlomak s njegovom recipročnom vrijednošću nazivnika tj s [inlmath]x+i[/inlmath] i dobijem

Pročito sam ovu rečenicu bar desetak puta i ne kontam šta si zapravo uradio...

Ništa, evo kako bih ja...

Pre svega, [inlmath]i^{2010}=i^2=-1,\quad i^{2011}=i^3=-i[/inlmath]
[dispmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}=\frac{2x-1}{x-i}+2x+i[/dispmath]
Pošto je imaginarni deo drugog sabirka, [inlmath]\left(2x+i\right)[/inlmath], jednak jedinici, imaginarni deo celog ovog zbira će biti jednak jedinici kada je imaginarni deo prvog sabirka, [inlmath]\frac{2x-1}{x-i}[/inlmath], jednak nuli.
[dispmath]\frac{2x-1}{x-i}=\frac{2x-1}{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}=\frac{\left(2x-1\right)\left(x+i\right)}{x^2+1}=\frac{2x^2-x+i\left(2x-1\right)}{x^2+1}[/dispmath]
Znači,
[dispmath]2x-1=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]

Je li se to može rješiti tako da se taj drugi pribrojnik/sabirnik doda u razlomak i onda sve to zajedno rješi?
Jer ja stvarno neću znat sam to prepoznat i tako odvajat ta dva pribrojnika i reć; drugi dio je jednak [inlmath]1[/inlmath], a pošto se zbrajaju prvi mora bit nula da sve bude [inlmath]1[/inlmath]

PS kad sam reka da prebacim drugi pribrojnik u nazivnik razlomka i onda sredim i racionaliziram, falija sam...prebacim ga u brojnik i onda sredim i racionaliziram...
I ne dobijem rezultat ko ti

blake je napisao:Je li se to može rješiti tako da se taj drugi pribrojnik/sabirnik doda u razlomak i onda sve to zajedno rješi?
Jer ja stvarno neću znat sam to prepoznat i tako odvajat ta dva pribrojnika i reć; drugi dio je jednak [inlmath]1[/inlmath], a pošto se zbrajaju prvi mora bit nula da sve bude [inlmath]1[/inlmath]

Može, naravno, za nijansu komplikovanije jeste, ali ako je tebi tako sigurnije, onda OK.
[dispmath]\frac{2x-1}{x-i}+2x+i=\frac{2x-1}{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}+2x+i=\frac{2x^2-x+i2x-i}{x^2+1}+\frac{\left(2x+i\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x^2-x+i2x-i+2x^3+ix^2+2x+i}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x+ix^2+i2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x}{x^2+1}+i\frac{x^2+2x}{x^2+1}[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+2x}{x^2+1}=1[/dispmath][dispmath]x^2+2x=x^2+1[/dispmath][dispmath]2x=1[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]

A evo i načina na koji si ti radio, tj. da se prvo svede na zajednički imenilac, a tek onda da se izvrši racionalizacija.
Naravno, dobije se isti rezultat kako kad se ide obrnutim redosledom (prvo racionalizacija pa svođenje na zajednički imenilac), pa možeš uporediti sa svojim postupkom i videti di je bio „kiks“.
[dispmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}=\frac{2x-1}{x-i}+2x+i=\frac{2x-1+\left(2x+i\right)\left(x-i\right)}{x-i}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x-1+2x^2+ix-i2x+1}{x-i}=\frac{2x^2+2x-ix}{x-i}=\frac{2x^2+2x-ix}{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x^3+2x^2-ix^2+i2x^2+i2x+x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x+ix^2+i2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x}{x^2+1}+i\frac{x^2+2x}{x^2+1}[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+2x}{x^2+1}=1[/dispmath][dispmath]x^2+2x=x^2+1[/dispmath][dispmath]2x=1[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=\frac{1}{2}}[/dispmath]

Ti si umesto [dispmath]\frac{x^2+2x}{x^2+1}=1[/dispmath] dobio [dispmath]\frac{3x^2-x-1}{x^2+1}=1[/dispmath]
Ali, iz te jednakosti koju si ti dobio, za [inlmath]x[/inlmath] se ne bi dobilo
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 15}{4}[/dispmath]
kako je tebi ispalo, već
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 17}{4}[/dispmath]
Skenuo sam ti pažnju na sve što nije valjalo, zato da bi pronašao di si grešio pa da te greške sprečiš u budućim zadacima.

Pa ti znaš i šta ja falivam

Imam još dva zadatka koja ne znam rješit (i nije nešto previše da jedna tema ima 3-5 stranice, šta)

1. Koliki je modul kompleksnog broja [inlmath]z\ne 0[/inlmath] koji zadovoljava uvjete [inlmath]|z+1|=|z+i|=1[/inlmath]

Dakle [dispmath]|x+yi+1|=|x+yi+i|=1\\
|x+yi+1|=|x+i(y+1)|=1[/dispmath]
[inlmath]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath]

Ja sam prvo izjednačia [inlmath]|x+yi+1|=|x+yi+i|[/inlmath] i to vjerojatno krivo jer sam dobia da je [inlmath]x=y[/inlmath]
A onda sam izjednačia [inlmath]|x+i(y+1)|=1[/inlmath] i dobia da je [inlmath]x=-3[/inlmath]
Šta je opet krivo jer je onda [inlmath]|z|=\sqrt{18}[/inlmath] a točan rezultat je [inlmath]|z|=\sqrt 2[/inlmath]


2. Izračunaj [inlmath]|z|[/inlmath] ako je [inlmath]z=\frac{-i^7\left(\sqrt 2-i\right)^5}{\left(1-i\sqrt 2\right)^8}[/inlmath]

Ovo je, nekako, naše vreme, kad se mi obično srećemo na net-u. Najoptimalnije vreme za učenje.

blake je napisao:(i nije nešto previše da jedna tema ima 3-5 stranice, šta)

Vidim ja da je ovaj forum zreo za jedan Pravilnik, hehe...
Al' nikako da se nakanim da sednem da ga napišem... te Nova godina, praznici, ovo-ono... Ali, biće, uskoro...

Elem, prvi zadatak...

blake je napisao:Ja sam prvo izjednačia [inlmath]|x+yi+1|=|x+yi+i|[/inlmath] i to vjerojatno krivo jer sam dobia da je [inlmath]x=y[/inlmath]

A što misliš da je krivo? U redu je, i treba da se dobije da je [inlmath]x=y[/inlmath].

blake je napisao:A onda sam izjednačia [inlmath]|x+i(y+1)|=1[/inlmath] i dobia da je [inlmath]x=-3[/inlmath]
Šta je opet krivo jer je onda [inlmath]|z|=\sqrt{18}[/inlmath] a točan rezultat je [inlmath]|z|=\sqrt 2[/inlmath]

E to već jeste krivo i ne znam kako si to dobio. Da nisi možda umesto [inlmath]\sqrt{x^2+\left(x+1\right)^2}=1[/inlmath] napisao [inlmath]\sqrt{x+\left(x+1\right)^2}=1[/inlmath], tj. izostavio jedan kvadrat kod [inlmath]x[/inlmath]?
Znači, idemo ovako:
[dispmath]\left|x+i\left(y+1\right)\right|=1[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2+\left(y+1\right)^2}=1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x=y[/inlmath],
[dispmath]\sqrt{x^2+\left(x+1\right)^2}=1[/dispmath]
Kvadriramo obe strane i razvijemo binom na kvadrat...
[dispmath]x^2+x^2+2x+1=1[/dispmath][dispmath]2x^2+2x=0[/dispmath][dispmath]2x\left(x+1\right)=0[/dispmath]
odakle sledi da je [inlmath]x=0[/inlmath] ili [inlmath]x=-1[/inlmath].
Međutim, ako bi bilo [inlmath]x=0[/inlmath], tada bi bilo i [inlmath]y=0[/inlmath], a to otpada, jer je, po uslovu zadatka, [inlmath]z\ne 0[/inlmath].
Prema tome, ostaje jedino rešenje [inlmath]x=-1[/inlmath], [inlmath]y=x=-1[/inlmath], tj. [inlmath]z=-1-i[/inlmath], pa je njegov modul [inlmath]\left|z\right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt 2[/inlmath]

Ajd prostudiraj ovo (mislim, ako još uvek ne spavaš ) a ja ću u međuvremenu, pre nego što krenem na 2. zadatak (koji možda ostavim i za sutra, tj. za danas, jer već je sutra, tj. danas ) spremiti i geometrijsku interpretaciju ovog zadatka, koja mi se čini dosta zanimljivom, a i nekako će zaokružiti priču oko ovog zadatka.

Dakle, evo i te geometrijske interpretacije.


U ovoj kompleksnoj ravni crna kružnica, poluprečnika [inlmath]1[/inlmath], predstavlja geometrijsko mesto komplesknih brojeva čiji je moduo [inlmath]1[/inlmath].
Logično, jer, koju god tačku na toj kružnici da odaberemo, njena udaljenost od koordinatnog početka (koja i predstavlja moduo kompleksnog broja) biće jednaka [inlmath]1[/inlmath].

E sad, crvena kružnica je u odnosu na crnu kružnicu pomerena za [inlmath]1[/inlmath] ulevo, duž realne ose. Ova kružnica predstavlja geometrijsko mesto takvih kompleksnih brojeva koji bi, kada bi se uvećali za [inlmath]1[/inlmath] (tj. pomerili nadesno po realnoj osi za [inlmath]1[/inlmath]), imali moduo [inlmath]1[/inlmath]. Drugim rečima, crvenoj kružnici pripadaju kompleksni brojevi [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov da je [inlmath]\left|z+1\right|=1[/inlmath].

Po sličnom rezonu, plava kružnica je u odnosu na crnu kružnicu pomerena za [inlmath]1[/inlmath] nadole, duž imaginarne ose. Ova kružnica predstavlja geometrijsko mesto takvih kompleksnih brojeva koji bi, kada bi se uvećali za [inlmath]i[/inlmath] (tj. pomerili nagore po imaginarnoj osi za [inlmath]1[/inlmath]), imali moduo [inlmath]1[/inlmath]. Drugim rečima, plavoj kružnici pripadaju kompleksni brojevi [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov da je [inlmath]\left|z+i\right|=1[/inlmath].

Prema tome, kompleksni brojevi [inlmath]z[/inlmath] koji imaju tu osobinu da istovremeno ispunjavaju oba uslova, tj. da je [inlmath]\left|z+1\right|=1[/inlmath] i da je [inlmath]\left|z+i\right|=1[/inlmath], a to su upravo brojevi koji se traže u ovom zadatku, odgovaraju tačkama preseka crvene i plave kružnice.
To će biti brojevi [inlmath]z=0[/inlmath] (koji, prema uslovu zadatka, otpada) i [inlmath]z=-1-i[/inlmath].

Eto, ovaj geometrijski pristup je zaista zaokružio priču oko ovog zadatka... i to upravo kružnicama.

A za 2. zadatak kaže ovako...
[dispmath]z=\frac{-i^7\left(\sqrt 2-i\right)^5}{\left(1-i\sqrt 2\right)^8}[/dispmath]
Pošto se u ovom zadatku ne traži da se odredi sâm kompleksni broj, već se samo traži njegov moduo, možemo iskoristiti osobinu da je moduo proizvoda/količnika jednak proizvodu/količniku modula:
[dispmath]\left|z\right|=\left|\frac{-i^7\left(\sqrt 2-i\right)^5}{\left(1-i\sqrt 2\right)^8}\right|=\frac{\left|-i^7\right|\cdot\left|\left(\sqrt 2-i\right)^5\right|}{\left|\left(1-i\sqrt 2\right)^8\right|}=\frac{1\cdot\left|\sqrt 2-i\right|^5}{\left|1-i\sqrt 2\right|^8}=\cdots[/dispmath]
Nađi ovo dalje sâm, zaista nije teško. Dobićeš
[dispmath]\left|z\right|=\frac{\sqrt 3}{9}[/dispmath]

Zanimljive kružnice
Stvarno nemam koncentraciju od početka 2013, moram nešto napravit u vezi toga inaće ću falit napisat svoje ime u kontrolnom uskoro

Nakon malo mozganja dobia sam [dispmath]\frac{\sqrt 3}{9}[/dispmath]... Zapravo je jedino bitno da primjenim odma formulu za modul i dalje je lagano... Jer sam ja iša računat i zapetlja se

Pita koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede obe jednakosti [inlmath]|z-i|=2,\;|z-4i|=1[/inlmath] ?
[inlmath]z=x+yi[/inlmath]

U prvoj jednadžbi [inlmath]|z-i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2[/inlmath]
Sad ako gledam [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], onda imam središte kružnice [inlmath]S(0,1)[/inlmath] čiji je radijus [inlmath]2[/inlmath]

U drugoj [inlmath]|z-4i|=\sqrt{x^2+(y-4)^2}=1[/inlmath]
I opet kad promatram [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] onda imam središte kružnice [inlmath]S(0,4)[/inlmath] čiji je radijus [inlmath]1[/inlmath]

Sad piše da je rješenje na postavljeno pitanje [inlmath]1[/inlmath], ali ja baš očio ne razumin šta se traži i zašto [inlmath]1[/inlmath] ?

blake je napisao:Pita koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede obe jednakosti [inlmath]|z+i|=2,\;|z-4i|=1[/inlmath] ?
[inlmath]z=x+yi[/inlmath]

Pretpostavljam da ti je u prvoj jednakosti greška i da umesto plusa treba minus, tj. [inlmath]\left|z-i\right|=2[/inlmath]?

Da, odgovor je [inlmath]1[/inlmath], tj. postoji jedno i samo jedno rešenje koje zadovoljava obe jednačine. Možda će biti jasnije sa slike:


To su upravo te kružnice koje si i ti dobio, a pošto se one dodiruju, znači da postoji tačno jedan kompleksni broj koji zadovoljava obe jednakosti, tj. koji u kompleksnoj ravni pripada obema kružnicama. Vidimo sa slike da je to broj s koordinatama [inlmath]\left(0,3\right)[/inlmath], tj. kompleksni broj [inlmath]3i[/inlmath].

Da se kružnice seku, to bi značilo da postoje dve tačke koje pripadaju obema kružnicama, tj. da postoje dva kompleksna broja koja zadovoljavaju obe jednakosti; da kružnice nemaju dodirnih tačaka, značilo bi da ne postoji takav kompleksni broj koji zadovoljava obe jednakosti.

Do tog rezultata smo mogli doći i analitički, pošto imamo dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]x^2+\left(y-1\right)^2=4[/dispmath][dispmath]x^2+\left(y-4\right)^2=1[/dispmath]
Oduzimanjem jednačna dobijamo da je [inlmath]y=3[/inlmath], a odatle, uvrštavanjem te vrednosti u bilo koju od te dve jednačine, dobjamo i [inlmath]x=0[/inlmath].

Znači, jedno rešenje.