MATEMANIJA

Nadam se da je prihvatljivo ime teme, zamislija sam da ovdi budu zada(t)ci koji uključuju trigonometrijski prikaz kompleksnih brojeva, njihovo zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje

Zadatak:
[dispmath]z=\frac{\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)}{i-i\cos\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}}[/dispmath]

Sasvim je OK ime teme, mada je za ovu oblast ipak prikladnija ova rubrika, „kompleksna analiza“.
Nego, šta se traži u zadatku? Uprostiti?

Pa treba zapisati u trigonometrijskom obliku te brojeve, u brojniku je bilo [inlmath]i-1[/inlmath] pa sam to napisa u trigonometrijskom obliku. Sad treba sredit ovo u nazivniku i podijelit. Samo kako sredit to ispravno?
Rj: [dispmath]z=\frac{1}{\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{5}}\left(\cos\frac{11\pi}{20}+i\sin\frac{11\pi}{20}\right)[/dispmath]

Da, brojnik si dobro sredio. A što se nazivnika tiče, postupak bi bio:
[dispmath]i-i\cos\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}=i\left(1-\cos\frac{2\pi}{5}\right)+\sin\frac{2\pi}{5}=[/dispmath]
koristimo formule
[inlmath]1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}[/inlmath]
i
[inlmath]\sin\alpha= 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath]
pa dobijemo
[dispmath]=i2\sin^2\frac{\pi}{5}+2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\left(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5}\right)[/dispmath]
što predstavlja kompleksni broj čiji je moduo [inlmath]2\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath], a argument [inlmath]\frac{\pi}{5}[/inlmath].
Prema tome, kompleksni broj koji tražimo je:
[dispmath]z=\frac{\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}\left(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5}\right)}[/dispmath]
Kao što znamo, kad delimo dva kompleksna broja zapisana u trigonometrijskom obliku, njihove module delimo, a argumente oduzimamo, pa će to biti:
[dispmath]z=\frac{1}{\sqrt 2\sin\frac{\pi}{5}}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{5}\right)\right][/dispmath][dispmath]z=\frac{1}{\sqrt 2\sin\frac{\pi}{5}}\left(\cos\frac{11\pi}{20}+i\sin\frac{11\pi}{20}\right)[/dispmath]
što je rešenje koje si i napisao da treba da se dobije.

Tek sam sad prepisa ovo u bilježnicu ( ) i moram pitati kako ste iz klasične formule [inlmath]\cos^2x+\sin^2x=1[/inlmath] tj. [inlmath]1-\cos^2x=\sin^2x[/inlmath] dobili da je [inlmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath]

I kad se dijele moduli na samome kraju, kako ste dobili [inlmath]\frac{1}{\sqrt 2\sin\frac{\pi}{5}}[/inlmath] ?

blake je napisao:moram pitati kako ste iz klasične formule...

Ajme, zar moram sad i tebe da opominjem da mi ne persiraš?
Molim te, a i sve ostale, na ti smo.

blake je napisao:kako ste iz klasične formule [inlmath]\cos^2x+\sin^2x=1[/inlmath] tj. [inlmath]1-\cos^2x=\sin^2x[/inlmath] dobili da je [inlmath]1-\cos x=2\sin^2x[/inlmath]

Pod sinusom treba da ti je [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath], a ne [inlmath]x[/inlmath]. Znači,
[dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath]
To sledi iz formule za sinus polovine ugla, to bi trebalo da ste radili. Ta formula glasi:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/dispmath]
A ako ne znaš formulu za sinus polovine ugla, onda formulu koju sam koristio možeš dobiti preko kosinusa dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x[/dispmath]
tj.
[dispmath]\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=\left(1-\sin^2\frac{x}{2}\right)-\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath]

blake je napisao:I kad se dijele moduli na samome kraju, kako ste dobili [inlmath]\frac{1}{\sqrt 2\sin\frac{\pi}{5}}[/inlmath] ?

Gore smo imali [inlmath]\sqrt 2[/inlmath], dole smo imali [inlmath]2\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath]. Znači:
[dispmath]\frac{\sqrt 2}{2\sin\frac{\pi}{5}}[/dispmath]
Sada dvojku u imeniocu napišemo kao [inlmath]\sqrt 2\cdot\sqrt 2[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2\cdot\sqrt 2\sin\frac{\pi}{5}}[/dispmath]
pa će se [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] iz brojioca skratiti s jednim [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] iz imenioca i ostaće:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt 2\sin\frac{\pi}{5}}[/dispmath]

Daniel je napisao:Ajme, zar moram sad i tebe da opominjem da mi ne persiraš?
Molim te, a i sve ostale, na ti smo.

Hahaha, upa si u zamku, primjetia san da stalno to napominješ forumašima, pa eto iša san vidit oćeš opet ˝poludit˝

Šta se tiće matematike, formulu za sinus polovine ugla nismo obradili... A za sve ostalo, thx

blake je napisao:

Daniel je napisao:Ajme, zar moram sad i tebe da opominjem da mi ne persiraš?
Molim te, a i sve ostale, na ti smo.

Hahaha, upa si u zamku, primjetia san da stalno to napominješ forumašima, pa eto iša san vidit oćeš opet ˝poludit˝

M
A
R
Š

blake je napisao:Šta se tiće matematike, formulu za sinus polovine ugla nismo obradili... A za sve ostalo, thx

Nema na čemu...