MATEMANIJA

Ako je sa [inlmath]\overline{z}[/inlmath] označen broj komplesno konjugovan broju [inlmath]z[/inlmath], tada je skup svih rešenja jednačine [inlmath]z\cdot\overline{z}+z^2=1-i[/inlmath] jednak:

Znam da je [inlmath]\overline{z}\cdot z=[z]^2[/inlmath], ali opet mi ostaje unutar jednačine tako da ne mogu da prebacim u geometrijski oblik, niti da korenujem. Ima li neki predlog šta da uradim dalje?
[dispmath][z]^2+z^2=1-i[/dispmath]

Stared_Long_Enough je napisao:Znam da je [inlmath]\overline{z}\cdot z=[z]^2[/inlmath],

[inlmath]\overline z\cdot z[/inlmath] je kvadrat modula kompleksnog broja [inlmath]z[/inlmath], a modul se obeležava sa [inlmath]|z|[/inlmath], ne sa [inlmath][z][/inlmath]. Dakle:
[dispmath]|z|^2+z^2=1-i[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath]z=x+iy[/inlmath] i izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane jednačine, dobićeš sistem dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].

Okej, sad znam šta dalje. Hvala na pomoći!

Samo da proverim da li sam tačno uradila.
[dispmath]|z|^2+z^2=1-i\\
x^2+y^2+(x\pm y)^2=1-i\\
x^2+y^2+x^2\pm2xyi-y^2=1-i\\
2x^2\pm2xyi=1-i\\
2x^2=1\;\land\;\pm2xyi=-i\\
x_1=\frac{\sqrt2}{2},\quad x_2=\frac{\sqrt2}{2},\quad y_1=-\frac{\sqrt2}{2},\quad y_2=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] U rešenjima piše [inlmath]\left\{\frac{\sqrt2}{2}(1 - i),\frac{\sqrt2}{2}(-1 + i)\right\}[/inlmath], nije mi jasno zašto se menja znak ispred realnog dela kompleksnog broja, a ne ispred imaginarnog dela.

Mislim da sam našla grešku u svom postupku. Ja sam pretpostavila da je [inlmath]z=x\pm yi[/inlmath], pa da iz toga dobijam raličita rešenja. Zapravo, više rešenja dolaze iz činjenice da [inlmath]x^2[/inlmath] po definiciji ima dva rešenja
Moliću samo da mi neko potvrdi da li mi je pretpostavka tačna.

Tako je, [inlmath]z[/inlmath] nije jednako [inlmath]x\pm iy[/inlmath], već je jednako [inlmath]x+iy[/inlmath]. Pošto se dobije da je [inlmath]2xy=-1[/inlmath], to znači da će [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] biti različitog znaka, tj. [inlmath]x=\pm\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] i [inlmath]y=\mp\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], što daje rešenja [inlmath]z_1=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}(1-i)[/inlmath] i [inlmath]z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}(1-i)[/inlmath].

Stared_Long_Enough je napisao:U rešenjima piše [inlmath]\left\{\frac{\sqrt2}{2}(1 - i),\frac{\sqrt2}{2}(-1 + i)\right\}[/inlmath],

Uvek kad imaš rešenje treba da ga napišeš u uvodnom postu, zajedno s tekstom zadatka. Na taj način olakšavaš posao onima koji žele da ti pomognu. Tačka 11. Pravilnika.

Moja greška, neće se ponoviti. Hvala na pomoći