MATEMANIJA

Postovani matematicari,

Naisao sam na problem prilikom resavanja dva zadatka iz oblasti brojevi, zamolio bih vas za objasnjenje i malo usmeravanje kako da resim zadatke.
Koliko sam istrazivao zadaci se rade uz pomoc Moavrove formule, koju iz nekog razloga nismo ucili u srednjoj skoli, a treba mi za upis na fakultet

1. Ako je [inlmath]i[/inlmath] imaginarna jedinica, onda je [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2003}[/inlmath] jednako

2. Kompleksan broj [inlmath]\left(1+i\sqrt3\right)^9+\left(\sqrt3-i\right)^9[/inlmath], [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] jednak je

Hvala vam

Pozdrav, dobro nam došao,

Ja ne bih ni jedan od ova dva zadatka radio preko Moavrove formule. Za prvi bih preporučio da izraz u zagradi digneš na kvadrat, pogledaj šta ćeš dobiti, pa dalje ne bi trebalo da bude teško da stepenuješ na bilo koji stepen. Drugi zadatak napiši kao:
[dispmath]\left(\left(1+i\sqrt3\right)^3\right)^3+\left(\left(1-i\sqrt3\right)^3\right)^3[/dispmath] stepenuj prvo na kub pa ne bi trebalo da bude problema.

Što se tiče Moavrove formule, nju imaš objašnjenu ovde. Iako ti nije potrebna za ovaj zadatak, svakako bih ti preporučio da je naučiš i shvatiš. Naravno, ukoliko hoćeš da upotrebiš tu formulu dobićeš tačno rešenje. Pokušaj, mislim da će ti biti dobra vežba, pa ako bude problema reci. Naravno, pre toga moraš da savladaš pretvaranje kompleksnog broja iz algebarskog u trigonometrijski oblik i obrnuto (a ne bi bilo loše znati ni Ojlerov oblik). Izvini ako ti ovo zvuči kao "soljenje pameti" (nije mi to cilj), ali ne znam više šta je obuhvaćeno srednjoškolskim programom matematike.

P.S. U principu, različiti zadaci idu u različite teme. Ova dva zadatka su dovoljno slična da mogu da idu u istu, ali da znaš za ubuduće.

Dobrodošlica i od mene.
U drugom zadatku je napisano [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], što je pogrešna definicija. Ne bi me čudilo da je tako zaista napisano u originalnom zadatku, jer je to nažalost vrlo česta greška kako na predavanjima, tako i u literaturi. Ali, [inlmath]i[/inlmath] se nikako ne definiše kao [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], već se definiše kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Bilo je o tome govora u ranijim temama, npr. ovoj i ovoj.

Radi pomoći oko ova dva zadatka koja si postavio, možeš malo pretražiti forum, imali smo dosta sličnih za koje je objašnjen postupak (i sa Moavrom i bez Moavra), a neke od njih možeš videti ovde i ovde.

I svakako pogledaj temu koju ti je miletrans linkovao. Ta tema je zapravo tutorijal o kompleksnim brojevima, tu imaš apsolutno sve što ti je od teorije potrebno za rešavanje ovakvih zadataka.

@miletrans

Hvala puno da dobrodoslici

Zadatke sam uspesno resio, na nacin koji ste objasnili, hvala Vam puno. Resenje u zbirci je uradjeno preko Moavrove formule, pa sam pomislio da nema drugog nacina. Kako god da okrenem i Moavr i Ojler mi trebaju za upis na faks, a ni jedan od njih se ne obradjuju u srednjoj skoli
Hvala puno na korisnim savetima.

---

@Daniel

Hvala Vam puno na dobrodoslici!

Verovali ili ne, u zvanicnoj zbirci FON-a stoji da je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], ali znacu za ubuduce kako se [inlmath]i[/inlmath] definise.