MATEMANIJA

Ako je [dispmath]z=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt 2}+i\sqrt{2-\sqrt 2}\right)[/dispmath]
Tada [inlmath]z^{16}[/inlmath] iznosi?

Ako je formula [dispmath]z^n=|z|^n\cdot (\cos n\phi+i\sin\phi)[/dispmath][dispmath]|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(2+\sqrt 2+2-\sqrt 2\right)}=\sqrt 1=1[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{y}{x}[/dispmath]
I sad imam problem pri dijeljenju jer se javlja [dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt 2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt 2}}[/dispmath]
Meni ispada [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=3+2\sqrt 2=5.8284[/inlmath] šta mi je čudno
A na kraju je rezultat [inlmath]z^{16}=1[/inlmath]

Moduo si dobro izračunao.

E sad, pri računanju argumenta broja [inlmath]z[/inlmath] ispravno si napisao formulu, [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{y}{x}[/inlmath], međutim, zezno si se jer si računao kao [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{x}{y}[/inlmath].
Znači, treba gore da ti bude oduzimanje, a dole sabiranje.
Kad pravilno primeniš formulu za određivanje argumenta, dobićeš da je
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\sqrt 2-1[/dispmath]
E sad, pošto tražimo [inlmath]z^{16}[/inlmath], a znamo da kad se kompleksni brojevi množe njihovi argumenti se sabiraju, argument broja [inlmath]z^{16}[/inlmath] biće [inlmath]16\phi[/inlmath].
Odredimo, za početak, koliko je [inlmath]2\phi[/inlmath], primenjujući formulu za tangens dvostrukog ugla, koja glasi:
[dispmath]\mathrm{tg}\:2\phi=\frac{2\mathrm{tg}\:\phi}{1-\mathrm{tg}^2\phi}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:2\phi=\frac{2\left(\sqrt 2-1\right)}{1-\left(\sqrt 2-1\right)^2}[/dispmath]
I, kad to sračunaš, dobije se simpatičan rezultat
[dispmath]\mathrm{tg}\:2\phi=1[/dispmath][dispmath]2\phi=\frac{\pi}{4}[/dispmath]
(Znači da je [inlmath]\phi=\frac{\pi}{8}[/inlmath], što možeš i proveriti tako što, kad na kalkulatoru potražiš tangens broja [inlmath]\frac{\pi}{8}[/inlmath], zaista ćeš dobiti vrednost koja odgovara [inlmath]\sqrt 2-1[/inlmath].)

Pošto mi tražimo [inlmath]16\phi[/inlmath], to će biti [inlmath]2\pi[/inlmath]. Znači, argument broja [inlmath]z^{16}[/inlmath] je [inlmath]2\pi[/inlmath].
A čim mu je argument [inlmath]2\pi[/inlmath], odmah znamo, ako zamislimo kompleksnu ravan, da će mu imaginarni deo biti nula, a realni deo će biti jednak njegovom modulu, tj. [inlmath]1[/inlmath].
A ako baš treba sve odraditi postupno – isti rezultat dobijamo i ako broj [inlmath]z^{16}[/inlmath] napišemo u trigonometrijskom obliku,
[inlmath]z^{16}=1\cdot\left(\cos 2\pi+i\cdot\sin 2\pi\right)=1+i\cdot 0=1[/inlmath]

Daniel je napisao:Kad pravilno primeniš formulu za određivanje argumenta, dobićeš da je
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\sqrt 2-1[/dispmath]

6:30am
Znam, ne spavam.
Ali ne znam postepeno način da to dobijem.

Ma svaka tebi čast – i za to što radiš matu u ovo doba noći, a i za to što si na nju navalio već prvog (sada već i drugog) dana u Novoj godini.
To se ceni!
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt 2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt 2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{\sqrt{2+\sqrt 2}}[/dispmath]
Sada pomnožimo i gornju i donju stranu sa [inlmath]\sqrt{2-\sqrt 2}[/inlmath], kako bismo u imeniocu dobili razliku kvadrata:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{\sqrt{2+\sqrt 2}}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{\sqrt{2-\sqrt 2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{2-\sqrt 2}{\sqrt{4-2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{2-\sqrt 2}{\sqrt 2}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\sqrt 2-1[/dispmath]

---

Inače, kao rezultat one tvoje pogrešno primenjene formule,
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt 2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt 2}}[/dispmath]
dobija se [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath], a ne [inlmath]3+2\sqrt 2[/inlmath] kako si ti dobio, ali tu grešku pripisujemo ovom dobu noći.