MATEMANIJA

[dispmath]z=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)[/dispmath]
[dispmath]z^{30}=2^{30}\left(\cos 30\cdot\frac{5\pi}{6}+i\sin 30\cdot\frac{5\pi}{6}\right)=2^{30}\left(\cos 25\pi+i\sin 25\pi\right)[/dispmath]
[dispmath]=2^{30}\left[\cos\left(24\pi+\pi\right)+i\cdot 0\right]=20^{30}\cos\pi=20^{30}\left(-1\right)=-20^{30}[/dispmath]
jel možete da mi objasnite u zadnjem redu kako se sređuje ovo i koje se formule koriste

hvala

Prvo je primenjena Moavrova formula- za stepenovanje kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku.
[dispmath][ \rho (\cos\phi + i \sin \phi)]^n = \rho ^n (\cos n \phi + i \sin n \phi )[/dispmath]
Nakon toga je iskorišćena periodičnost sinusne i kosinusne funkcije, ondnosno da je:
[dispmath]\sin (x + 2k \pi) = \sin x[/dispmath]
[dispmath]\cos (x + 2k \pi) = \cos x[/dispmath]
Otuda je [inlmath]\sin 25 \pi = \sin \pi = 0[/inlmath] i [inlmath]\cos 25\pi = \cos \pi =-1[/inlmath]

I imaš grešku u poslednjem redu, prvo ti piše [inlmath]2^{30}[/inlmath], pa ti to posle, odjednom, postane [inlmath]20^{30}[/inlmath].

hmm i dalje mi nije jasno kakve veze tačno ima npr formula [inlmath]\cos (x + 2k \pi) = \cos x[/inlmath] sa [inlmath]\cos 25\pi = \cos \pi[/inlmath]

može li objašnjenje neko dodatno šta stavljam za [inlmath]x[/inlmath] a šta za [inlmath]2k\pi[/inlmath]

[inlmath]\cos (25 \pi) = \cos ( \pi + 24 \pi ) = \cos ( \pi + (2\cdot 12) \pi )= \cos ( \pi)= -1[/inlmath]
Tj. nakon 12 punih okreta ([inlmath]12 \cdot ( 2\pi)[/inlmath]), ostao nam je još ugao od [inlmath]\pi[/inlmath], čiji je kosinus [inlmath]-1[/inlmath]

aha znači ako imam pun krug to poništavam i gledam samo onaj prvi deo

a jel bi moglo da bude npr [inlmath]23\pi[/inlmath] umesto [inlmath]24\pi[/inlmath], to onda nije pun krug

Sinus i kosinus su periodične funkcije s periodom [inlmath]2k\pi[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj.

Znači,
[dispmath]\cos\left(x+2k\pi\right)=\cos x,\quad\sin\left(x+2k\pi\right)=\sin x,\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
ili, u tvom slučaju, u kojem je [inlmath]x=\pi[/inlmath] a [inlmath]k=12[/inlmath],
[dispmath]\cos 25\pi=\cos\left(\pi+2\cdot 12\pi\right)=\cos\pi=-1[/dispmath]
[inlmath]23\pi[/inlmath] ne bi predstavljao celobrojni umnožak od [inlmath]2\pi[/inlmath], pa, samim tim, ne bi predstavljao period kosinusne funkcije.

Ali, mogao bi [inlmath]25\pi[/inlmath] da napišeš i ovako:
[dispmath]\cos 25\pi=\cos\left(-\pi+26\pi\right)=\cos\left(-\pi+2\cdot 13\pi\right)=\cos\left(-\pi\right)=-1[/dispmath]
jer [inlmath]26\pi[/inlmath] takođe, kao i [inlmath]24\pi[/inlmath], predstavlja celobrojni umnožak od [inlmath]2\pi[/inlmath], pa, samim tim, predstavlja i period kosinusne funkcije.

Pozdrav, imam prebleme pri rješavanju ovog jednog zadatka, pomoć je hitno potrebna

Dio koji mi nije jasan glasi :
[dispmath]\text{cis}\left(\frac{\pi}{5}\right)[/dispmath]
jasno mi je da [inlmath]\text{cis}\:\varphi[/inlmath] predstavlja [inlmath]\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]. Ali na koji način mogu izračunati vrijednost kosinusa i sinusa za [inlmath]\frac{\pi}{5}[/inlmath] ?

Postavi citav zadatak ako hoces da ti pomognemo. Otkucaj sve do tog dijela koji ti nije jasan.

Pa mene zanima, postoji li neki univerzalni način da se to izračuna.


U sljedećem izrazu izvršite sve naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva :
[dispmath]((cis(π/5))^19/(cis(π/6))^3)[/dispmath]
gdje [inlmath]j[/inlmath] predstavlja imaginarnu jedinicu.
Sad nisam siguran trebam li, kad računam preko Eulerovog oblika, za [inlmath]\text{cis}\left(\frac{\pi}{5}\right)[/inlmath] uzeti u obzir da je modul tog kompleksnog broja [inlmath]1[/inlmath].
Na taj način se čini puno jednostavnije. Al eto ovaj problem se javlja kad pokušavam izračunati preko algebarskog oblika kompleksnog broja...
I mogu li taj [inlmath]\text{cis}[/inlmath] nekog ugla napisati kao [inlmath]e[/inlmath] na [inlmath]i[/inlmath] puta taj neki ugao ?
Nikako da mi formula fino ispadne, ali eto... ovo je na [inlmath]19[/inlmath].