MATEMANIJA

[dispmath]z=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)[/dispmath]
[dispmath]z^{30}=2^{30}\left(\cos 30\cdot\frac{5\pi}{6}+i\sin 30\cdot\frac{5\pi}{6}\right)=2^{30}\left(\cos 25\pi+i\sin 25\pi\right)[/dispmath]
[dispmath]=2^{30}\left[\cos\left(24\pi+\pi\right)+i\cdot 0\right]=20^{30}\cos\pi=20^{30}\left(-1\right)=-20^{30}[/dispmath]
jel možete da mi objasnite u zadnjem redu kako se sređuje ovo i koje se formule koriste

hvala

Prvo je primenjena Moavrova formula- za stepenovanje kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku.
[dispmath][ \rho (\cos\phi + i \sin \phi)]^n = \rho ^n (\cos n \phi + i \sin n \phi )[/dispmath]
Nakon toga je iskorišćena periodičnost sinusne i kosinusne funkcije, ondnosno da je:
[dispmath]\sin (x + 2k \pi) = \sin x[/dispmath]
[dispmath]\cos (x + 2k \pi) = \cos x[/dispmath]
Otuda je [inlmath]\sin 25 \pi = \sin \pi = 0[/inlmath] i [inlmath]\cos 25\pi = \cos \pi =-1[/inlmath]

I imaš grešku u poslednjem redu, prvo ti piše [inlmath]2^{30}[/inlmath], pa ti to posle, odjednom, postane [inlmath]20^{30}[/inlmath].

hmm i dalje mi nije jasno kakve veze tačno ima npr formula [inlmath]\cos (x + 2k \pi) = \cos x[/inlmath] sa [inlmath]\cos 25\pi = \cos \pi[/inlmath]

može li objašnjenje neko dodatno šta stavljam za [inlmath]x[/inlmath] a šta za [inlmath]2k\pi[/inlmath]

[inlmath]\cos (25 \pi) = \cos ( \pi + 24 \pi ) = \cos ( \pi + (2\cdot 12) \pi )= \cos ( \pi)= -1[/inlmath]
Tj. nakon 12 punih okreta ([inlmath]12 \cdot ( 2\pi)[/inlmath]), ostao nam je još ugao od [inlmath]\pi[/inlmath], čiji je kosinus [inlmath]-1[/inlmath]

aha znači ako imam pun krug to poništavam i gledam samo onaj prvi deo

a jel bi moglo da bude npr [inlmath]23\pi[/inlmath] umesto [inlmath]24\pi[/inlmath], to onda nije pun krug

Sinus i kosinus su periodične funkcije s periodom [inlmath]2k\pi[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj.

Znači,
[dispmath]\cos\left(x+2k\pi\right)=\cos x,\quad\sin\left(x+2k\pi\right)=\sin x,\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
ili, u tvom slučaju, u kojem je [inlmath]x=\pi[/inlmath] a [inlmath]k=12[/inlmath],
[dispmath]\cos 25\pi=\cos\left(\pi+2\cdot 12\pi\right)=\cos\pi=-1[/dispmath]
[inlmath]23\pi[/inlmath] ne bi predstavljao celobrojni umnožak od [inlmath]2\pi[/inlmath], pa, samim tim, ne bi predstavljao period kosinusne funkcije.

Ali, mogao bi [inlmath]25\pi[/inlmath] da napišeš i ovako:
[dispmath]\cos 25\pi=\cos\left(-\pi+26\pi\right)=\cos\left(-\pi+2\cdot 13\pi\right)=\cos\left(-\pi\right)=-1[/dispmath]
jer [inlmath]26\pi[/inlmath] takođe, kao i [inlmath]24\pi[/inlmath], predstavlja celobrojni umnožak od [inlmath]2\pi[/inlmath], pa, samim tim, predstavlja i period kosinusne funkcije.

Pozdrav, imam prebleme pri rješavanju ovog jednog zadatka, pomoć je hitno potrebna

Dio koji mi nije jasan glasi :
[dispmath]\text{cis}\left(\frac{\pi}{5}\right)[/dispmath]
jasno mi je da [inlmath]\text{cis}\:\varphi[/inlmath] predstavlja [inlmath]\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]. Ali na koji način mogu izračunati vrijednost kosinusa i sinusa za [inlmath]\frac{\pi}{5}[/inlmath] ?

Postavi citav zadatak ako hoces da ti pomognemo. Otkucaj sve do tog dijela koji ti nije jasan.

Pa mene zanima, postoji li neki univerzalni način da se to izračuna.


U sljedećem izrazu izvršite sve naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva :
[dispmath]((cis(π/5))^19/(cis(π/6))^3)[/dispmath]
gdje [inlmath]j[/inlmath] predstavlja imaginarnu jedinicu.
Sad nisam siguran trebam li, kad računam preko Eulerovog oblika, za [inlmath]\text{cis}\left(\frac{\pi}{5}\right)[/inlmath] uzeti u obzir da je modul tog kompleksnog broja [inlmath]1[/inlmath].
Na taj način se čini puno jednostavnije. Al eto ovaj problem se javlja kad pokušavam izračunati preko algebarskog oblika kompleksnog broja...
I mogu li taj [inlmath]\text{cis}[/inlmath] nekog ugla napisati kao [inlmath]e[/inlmath] na [inlmath]i[/inlmath] puta taj neki ugao ?
Nikako da mi formula fino ispadne, ali eto... ovo je na [inlmath]19[/inlmath].

avdon1 je napisao:Nikako da mi formula fino ispadne, ali eto... ovo je na 19.

Kao što je i naglašeno u Latex-uputstvu (poglavlje o eksponentima, na samom početku), sve što je u eksponentu potrebno je da grupišeš unutar vitičastih zagrada. Znači, [inlmath]19[/inlmath] u eksponentu pišeš kao ^{19}.

Da li izraz, pravilno zapisan, glasi ovako?
[dispmath]\frac{\Bigl(\text{cis}\left(\frac{\pi}{5}\right)\Bigr)^{19}}{\Bigl(\text{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)\Bigr)^3}[/dispmath]

[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x+y\right)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\left(\cos\varphi\right)^5+5\left(\cos\varphi\right)^4i\sin\varphi+10\left(\cos\varphi\right)^3\left(i\sin\varphi\right)^2+10\left(\cos\varphi\right)^2\left(i\sin\varphi\right)^3+5\cos \varphi\left(i\sin\varphi\right)^4+\left(i\sin\varphi\right)^5\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos^5\varphi+5\cos^4\varphi i\sin\varphi+10\cos^3\varphi\left(-\sin^2\varphi\right)+10\cos^2\varphi\left(-i\sin^3\varphi\right)+5\cos\varphi\sin^4\varphi+i\sin^5\varphi\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos^5\varphi+i5\cos^4\varphi\sin\varphi-10\cos^3\varphi\sin^2\varphi-i10\cos^2\varphi\sin^3\varphi+ 5\cos\varphi\sin^4\varphi+i\sin^5\varphi\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos^5\varphi-10\cos^3\varphi\sin^2\varphi+5\cos\varphi\sin^4\varphi+i\left(5\cos^4\varphi\sin\varphi-10\cos^2\varphi\sin^3\varphi+\sin^5\varphi\right)\\
\varphi=\frac{\pi}{5}\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos\pi+i\sin\pi=-1\\
\cos^5\varphi-10\cos^3\varphi\sin^2\varphi+5\cos\varphi\sin^4\varphi=-1\\
5\cos^4\varphi\sin\varphi-10\cos^2\varphi\sin^3\varphi+\sin^5\varphi=0\\
\sin\varphi\left(5\cos^4\varphi-10\cos^2\varphi\sin^2\varphi+\sin^4\varphi\right)=0\\
5\cos^4\varphi-10\cos^2\varphi\sin^2\varphi+\sin^4\varphi=0\quad\left/\cdot\frac{1}{\cos^4\varphi}\right.\\
5-10\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}+\frac{\sin^4\varphi}{\cos^4\varphi}=0\\
t=\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}\\
t^2-10t+5=0\\
t=\frac{10\pm\sqrt{10^2-4\cdot5}}{2}\\
t=\frac{10\pm\sqrt{100-20}}{2}\\
t=\frac{10\pm\sqrt{80}}{2}\\
t=\frac{10\pm\sqrt{16\cdot5}}{2}\\
t=\frac{10\pm4\sqrt5}{2}=5\pm2\sqrt5\\
t=5-2\sqrt5\\
\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}=5-2\sqrt5\\
\sin^2\varphi=\left(5-2\sqrt5\right)\cos^2\varphi\\
\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\\
\left(5-2\sqrt5\right)\cos^2\varphi+\cos^2\varphi=1\\
\left(6-2\sqrt5\right)\cos^2\varphi=1\\
\cos^2\varphi=\frac{1}{6-2\sqrt5}\\
\cos^2\varphi=\frac{1}{5-2\sqrt5+1}\\
\cos^2\varphi=\frac{1}{\left(\sqrt5-1\right)^2}\\
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt5-1}\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}\\
\cos\varphi=\frac{\sqrt5+1}{4}\\
\vdots
\end{array}[/dispmath]

[dispmath]\begin{array}{l}
\sin^2\varphi=\frac{5-2\sqrt5}{6-2\sqrt5}\frac{6+2\sqrt5}{6+2\sqrt5}\\
\sin^2\varphi=\frac{30+10\sqrt5-12\sqrt5-20}{16}\\
\sin^2\varphi=\frac{10-2\sqrt5}{16}\\
\sin^2\varphi=\frac{10-2\sqrt5}{16}\\
\sin^2\varphi=\frac{10-2\sqrt5}{16}\\
\sin\varphi=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}
\end{array}[/dispmath]

Mozda nekom zatreba

@bobanex, mislim da korisnici Matemanije nisu retardirani pa da mora sve ovako postupno da im se piše, red po red.

Kada bi sve ovo trebalo da objasniš u par rečenica, tj. u formi uputstva, bez mnogo pisanja matematičkog računa – kako bi to glasilo?