Riješi jednadžbu [inlmath]z^3=\overline{z}[/inlmath]
[dispmath]z_1=0[/dispmath][dispmath]z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)[/dispmath][dispmath]z^3=\overline{z}\quad /\cdot z\\
z^4=|z|^2[/dispmath]
Okej, množili smo sa [inlmath]z[/inlmath] početnu jednadžbu da bi dobili to, iako mi nije jasno zašto je to potrebno baš i zašto olakšava,... Onda dalje ide
[dispmath][|z|(\cos\phi+i\sin\phi)]^4=|z|(\cos 4\phi+i\sin 4\phi)=|z|^2\quad /|z|^2[/dispmath]
E ovako je pisalo na ploči...ali vjerojatno je zaboravila stavit "na četvrtu" poviše [inlmath]|z|[/inlmath] od prvog izraza jednadžbe...I još, nije dobro napisala je li se dijeli ili množi sa [inlmath]|z|^2[/inlmath] na kraju
Ali iz sljedeće jednadžbe se skuži da se djelilo
[dispmath]|z|^2(\cos 4\phi+i\sin 4\phi)=1[/dispmath][dispmath]|z|^2=1\;\land\;\cos 4\phi+i\sin 4\phi=1\;\Rightarrow\;4\phi=2k\pi\;\Rightarrow\;\phi=\frac{k\pi}{2},\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Sada usput dok sam pisa ovo sam svatia ove greške u pisanju, i sad još na kraju piše
[dispmath]z_2=1\\
z_3=i\\
z_4=-1\\
z_5=-i[/dispmath]
Sad me buni kako smo to dobili

blake je napisao:[dispmath][|z|(\cos\phi+i\sin\phi)]^4=|z|(\cos 4\phi+i\sin 4\phi)=|z|^2\quad /|z|^2[/dispmath]
E ovako je pisalo na ploči...ali vjerojatno je zaboravila stavit "na četvrtu" poviše [inlmath]|z|[/inlmath] od prvog izraza jednadžbe...

Upravo tako, očigledno je da umesto [inlmath]\left|z\right|[/inlmath] treba da piše [inlmath]\left|z\right|^4[/inlmath].

blake je napisao:[dispmath]|z|^2=1\;\land\;\cos 4\phi+i\sin 4\phi=1\;\Rightarrow\;4\phi=2k\pi\;\Rightarrow\;\phi=\frac{k\pi}{2},\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Sada usput dok sam pisa ovo sam svatia ove greške u pisanju, i sad još na kraju piše
[dispmath]z_2=1\\
z_3=i\\
z_4=-1\\
z_5=-i[/dispmath]
Sad me buni kako smo to dobili

Iz [inlmath]\left|z\right|^2=1[/inlmath] sledi da je [inlmath]\left|z\right|=1[/inlmath], pošto [inlmath]\left|z\right|[/inlmath], kao moduo, ne može biti negativan broj.
Jednačina [inlmath]\left|z\right|=1[/inlmath] predstavlja sve kompleksne brojeve čiji je moduo [inlmath]1[/inlmath], bez obzira na njihov argument, a u trigonometrijskoj ravni geometrijsko mesto takvih brojeva je kružnica poluprečnika [inlmath]1[/inlmath], čiji je centar u koordinatnom početku. Pošto je [inlmath]\left|z\right|=1[/inlmath] jedan od uslova koje rešenje mora da zadovolji, rešenja će se sigurno nalaziti negde na toj kružnici.

Jednačina [inlmath]\phi=\frac{k\pi}{2},\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath] nam govori da se rešenja moraju nalaziti na nekoj od koordinatnih osa, jer:
[inlmath]\phi=2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – broj se nalazi na pozitivnom delu realne ose;
[inlmath]\phi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – broj se nalazi na pozitivnom delu imaginarne ose;
[inlmath]\phi=\pi+2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – broj se nalazi na negativnom delu realne ose;
[inlmath]\phi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – broj se nalazi na negativnom delu imaginarne ose.

I onda, tražeči presek uslova da se rešenja moraju nalaziti na nekoj od koordinatnih osa i uslova da im je moduo jednak jedinici, dolazimo do pomenuta četiri rešenja.

---

A evo i „matematičkijeg“ objašnjenja:
[dispmath]\left|z\right|=1\quad\land\quad\phi=\frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad z=\left|z\right|\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=\cos\frac{k\pi}{2}+i\sin\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
[inlmath]k=4n,\;n\in\mathrm{Z}:[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\frac{4n\pi}{2}+i\sin\frac{4n\pi}{2}\\
z=\cos 2n\pi+i\sin 2n\pi\\
z=1+i\cdot 0\\
z=1[/dispmath]
[inlmath]k=4n+1,\;n\in\mathrm{Z}:[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\frac{\left(4n+1\right)\pi}{2}+i\sin\frac{\left(4n+1\right)\pi}{2}\\
z=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)\\
z=0+i\cdot 1\\
z=i[/dispmath]
[inlmath]k=4n+2,\;n\in\mathrm{Z}:[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\frac{\left(4n+2\right)\pi}{2}+i\sin\frac{\left(4n+2\right)\pi}{2}\\
z=\cos\left(\pi+2n\pi\right)+i\sin\left(\pi+2n\pi\right)\\
z=-1+i\cdot 0\\
z=-1[/dispmath]
[inlmath]k=4n+3,\;n\in\mathrm{Z}:[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\frac{\left(4n+3\right)\pi}{2}+i\sin\frac{\left(4n+3\right)\pi}{2}\\
z=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2n\pi\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2n\pi\right)\\
z=0+i\cdot\left(-1\right)\\
z=-i[/dispmath]
Znači, ukupno pet rešenja, uključujući i ono prvobitno rešenje, [inlmath]z=0[/inlmath].

---

Inače, postoji i način da se zadatak uradi bez trigonometrijskog oblika:
[dispmath]z^3=\overline z[/dispmath][dispmath]z=x+iy[/dispmath][dispmath]\left(x+iy\right)^3=x-iy[/dispmath][dispmath]x^3+3x^2iy+3xi^2y^2+i^3y^3=x-iy[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\left(x^3-3xy^2-x\right)+i\left(3x^2y-y^3+y\right)=0[/dispmath][dispmath]x^3-3xy^2-x=0\quad\land\quad 3x^2y-y^3+y=0[/dispmath][dispmath]\left(x=0\quad\lor\quad x^2-3y^2-1=0\right)\quad\land\quad\left( y=0\quad\lor\quad 3x^2-y^2+1=0\right)[/dispmath][dispmath]\left(x=0\quad\land\quad y=0\right)\quad\lor\quad\left(x=0\quad\land\quad 3x^2-y^2+1=0\right)\quad\lor\\
\lor\quad\left(y=0\quad\land\quad x^2-3y^2-1=0\right)\quad\lor\quad\left(x^2-3y^2-1=0\quad\land\quad 3x^2-y^2+1=0\right)[/dispmath]
Za ovaj poslednji sistem od dve jednačine s dve nepoznate dobije se da nema rešenja, pa ostaje:
[dispmath]z=0\quad\lor\quad\left(x=0\quad\land\quad -y^2+1=0\right)\quad\lor\quad\left(y=0\quad\land\quad x^2-1=0\right)[/dispmath][dispmath]z=0\quad\lor\quad\left(x=0\quad\land\quad y=\pm 1\right)\quad\lor\quad\left(y=0\quad\land\quad x=\pm 1\right)[/dispmath][dispmath]z=0\quad\lor\quad z=\pm i\quad\lor\quad z=\pm 1[/dispmath]

Kako znaš ovaj [inlmath]k=4n,\:4n+1[/inlmath],...?

To je samo način obeležavanja. Svaki ceo broj može biti ili deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] (oznaka [inlmath]4n[/inlmath]), ili da pri deljenju sa [inlmath]4[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] (oznaka [inlmath]4n+1[/inlmath]), ili da pri deljenju sa [inlmath]4[/inlmath] daje ostatak [inlmath]2[/inlmath] (oznaka [inlmath]4n+2[/inlmath]), ili da pri deljenju sa [inlmath]4[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3[/inlmath] (oznaka [inlmath]4n+3[/inlmath]). Peti slučaj ne postoji, tj. svaki ceo broj mora da spada u jednu i samo u jednu od ove četiri grupe.