MATEMANIJA

Vezbam vec neko vreme zadatke sa prijemnih gde se polaze matematika i naisao sam na jedan simpatican zadatak.
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] vrednosti parametra za koje je polinom [inlmath]P(x)=x^3+ax^2+bx+2[/inlmath] deljiv sa [inlmath]x+2[/inlmath] a pri deljenju sa [inlmath]x-1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3[/inlmath]. Tada je
[dispmath]a)\;\log a-\left|b\right|=2\\
b)\;a+\sqrt{b^2}=0\\
c)\;\log a+\left|b\right|=0\\
d)\;a+b=2\\
e)\;a-b=2[/dispmath]
[dispmath]\left(x^3+ax^2+bx+2\right)\div\left(x+2\right)=x^2+x(a-2)+(b-2a+4)\\
\Rightarrow\;b-2a+4=1\;\Rightarrow\;b-2a=-3\\
\left(x^3+ax^2+bx-1\right)\div\left(x-1\right)=x^2+x(a+1)+(b+a+1)\\
\Rightarrow\;b+a+1=1\;\Rightarrow\;b+a=0\\
b=-a\\
\Rightarrow\;-a-2a=-3\\
-3a=-3\\
a=1\\
b=-1\\
a-b=1-(-1)\;\Rightarrow\;a-b=2[/dispmath]
Sada se mozda pitate sto sam ovo objavio, radio sam ovaj zadatak skoro 2 sata(naravno ne aktivna dva sata ali vreme provedeno razmisljajuci o zadatku takodje racunam), skoro 6 A4 stranica sam ispisao deleci polinome gore jer duze vreme nisam mogao da dobijem dobro resenje. Onda sam uzeo prazan papir i pazljivo podelio polinome. Malo to sredio i dobio tacno resenje. Greska je cisto posledica racunanja napamet.
Iz [inlmath]-3a=-3[/inlmath] ja sam dobijao [inlmath]a=-3[/inlmath] (u glavi razmisljam [inlmath]1[/inlmath] a iznova zapisujem [inlmath]-3[/inlmath]), naravno svi vidimo da [inlmath]a[/inlmath] sigurno nije [inlmath]-3[/inlmath] ,ali ja sam sve drugo detaljno proveravao samo to gde sam "najsigurniji" iznova sam mehanicki pisao.
Zato pamet u glavu, ono sto vam deluje najlakse obicno je prvo gde mozete pogresiti.

@Herien Wolf,
tvoja mi se tema baš svidela. Baš je forumska, po mom mišljenju.

Zato imam pitanje i za tebe i za sve naše korisnike.

Da li se može primeniti ovakav postupak u ovom tvom zadatku i sličnim zadacima:
[dispmath]P(x)=Q(x)(x-d)+r[/dispmath]
Ovde je [inlmath]P(x)[/inlmath] zadati polinom pri čemu je [inlmath]d[/inlmath] nula polinoma a [inlmath]Q(x)[/inlmath] količnik i [inlmath]r[/inlmath] naravno ostatak pri deljenju polinoma.
Koristeći zadate podatke odmah imam (prvi ostatak je [inlmath]r=0[/inlmath] dok je drugi [inlmath]r=3[/inlmath]):
[dispmath]P(-2)=4a-2b-6=0[/dispmath][dispmath]P(1)=1+a+b+2=3[/dispmath]
Ja odavde odmah dobijam tvoja rešenja.

Da li ovo uvek može da se primeni?
Ako može, zašto može?
Ako ne može, zašto ne može?

desideri je napisao:Da li ovo uvek može da se primeni?
Ako može, zašto može?
Ako ne može, zašto ne može?

I ja sam mislio isto ovo da pitam.
@Herien Wolf, tvoj postupak se, koliko vidim, svodi na izjednačavanje slobodnog člana količnika s jedinicom. Možeš li da obrazložiš tu ideju?

Daniel je napisao:@Herien Wolf, tvoj postupak se, koliko vidim, svodi na izjednačavanje slobodnog člana količnika s jedinicom. Možeš li da obrazložiš tu ideju?

Deljenjem [inlmath]\left(x^3+ax^2+bx+2\right)\div\left(x+2\right)=x^2+x(a-2)+(b-2a+4)[/inlmath] poslednji korak se ovaj dobija, posto je deljenje bez ostatka onda bi sve moralo da se pokrati, a pokratice se samo kada je [inlmath]b-2a+4=1[/inlmath]
[dispmath]x(b-2a+4)+2\\
x(b-2a+4)+2(b-2a+4)[/dispmath]
Isto se radi za drugo deljenje

PS. kako se pravi latex za deljenje (konkretno mislim da se lepo bude napisano jedno ispod drugog (iste promenljive))

Konkretno se pročita Latex uputstvo gde je sve pa i to objašnjeno.
Ako si konkretno mislio na razlomke to je onda u istom uputstvu.

Otprilike naslućujem tvoju ideju (ne baš sasvim), ali možeš li da pojasniš ovaj deo,

Herien Wolf je napisao:[dispmath]x(b-2a+4)+2\\
x(b-2a+4)+2(b-2a+4)[/dispmath]

tj. šta to tačno predstavlja, ne uspevam nikako da pohvatam?

Herien Wolf je napisao:Isto se radi za drugo deljenje

Pa, nije baš isto. U drugom deljenju imaš ostatak koji nije nula.

Zamolio bih te ako možeš to malo podrobnije da objasniš.

Pokusacu najbolje
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^3+ax^2+bx+2\right)\div\left(x+2\right)=x^3+x(a-2)+(b-2a+4)\\
\phantom{.}\underline{x^3+2x^2}\\
\phantom{.......}x^2\left(a-2\right)+bx+2\\
\phantom{.......}\underline{x^2(a-2)+x(2a-4)}\\
\phantom{...................}x(b-2a+4)+2\\
\phantom{...................}x(b-2a+4)+2(b-2a+4)
\end{array}[/dispmath]
Radi se o deljenju bez ostatka tako da ce se poslednji korak pokratiti, on se moze pokratiti samo kada je [inlmath]x(b-2a+4)+2=x(b-2a+4)+2(b-2a+4)\;\Rightarrow\;1=b-2a+4[/inlmath]
Drugo deljenje kada je ostatak 3.
Kada bi se od polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] oduzeo taj ostatak pri deljenju sa [inlmath]x-1[/inlmath] onda bi se dobio polinom koji je deljiv sa [inlmath]x-1[/inlmath] bez ostatka.
[dispmath]x^3+ax^2+bx+2-3=x^3+ax^2+bx-1[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^3+ax^2+bx-1\right)\div\left(x-1\right)=x^3+x(a+1)+(b+a+1)\\
\phantom{.}\underline{x^3+x^2}\\
\phantom{......}x^2\left(a+1\right)+bx-1\\
\phantom{......}\underline{x^2(a+1)+x(a+1)}\\
\phantom{..................}x(b+a+1)+2\\
\phantom{..................}x(b+a+1)+2(b+a+1)
\end{array}[/dispmath]
Radi se o deljenju bez ostatka tako da ce se poslednji korak pokratiti, on se moze pokratiti samo kada je [inlmath]x(b+a+1)+2=x(b+a+1)+2(b+a+1)\;\Rightarrow\;1=b+a+1[/inlmath]

Nadam se da je sada razumljivije. Za latex sam pitao ovo predstavljanje deljenja (da stoji lepo jedno ispod drugog da ne moram ovako sa tackama da odmacinjem.

Sto se tice tog dela oko LaTeX-a, to (da nestanu tacke, a da ostane prazan prostor) mozes postici tako sto ako si imao ...... ti stavis \phantom{......}. Naime, LaTeX ne prikazuje nista sto je pod komandom \phantom{}, ali tretira da tu nesto ipak stoji i pravi blanko razmak za tacno onoliko koliko je dugacak argument pod komandom \phantom{} (tj. uzima duzinu onoga sto je pod viticastim zagradama).

Ja cu ti izmeniti post u tom duhu.

@Herien Wolf, hvala za ceo ovaj postupak, sad je sasvim jasno šta si radio. I to je sve OK, način razmišljanja ti je sasvim ispravan. Ipak, Desideri ti je u ovom postu pokazao daleko jednostavniji način, a ja ću ga ovde opisati malo detaljnije (ne Desiderija, dabome, već taj postupak).

Ako se deljenjem polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] dobija količnik [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] i ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath], to možemo zapisati na sledeći način:
[dispmath]P\left(x\right)=G\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)+R\left(x\right)[/dispmath]
pri čemu je stepen polinoma [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] (ostatka) bar za jedan manji od stepena polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] (delioca).

Ako je delilac [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] oblika [inlmath]\left(x-d\right)[/inlmath], tj. polinom prvog stepena, tada će ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] biti polinom nultog stepena, tj. biće konstanta [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]P\left(x\right)=G\left(x\right)\cdot\left(x-d\right)+r[/dispmath]
Ako u prethodni izraz uvrstimo vrednost [inlmath]x=d[/inlmath], dobićemo
[dispmath]P\left(d\right)=\cancelto{0}{G\left(d\right)\cdot\left(d-d\right)}+r\\
\enclose{box}{P\left(d\right)=r}[/dispmath]
što je poznato kao Bezuova teorema.

---

Dakle, ako bismo ovaj zadatak radili primenom Bezuove teoreme, to bi izgledalo ovako:

Polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]\left(x+2\right)[/inlmath], tj. deljenjem sa [inlmath]\left(x+2\right)[/inlmath] daje ostatak nula:
[dispmath]d=-2,\;r=0\quad\Rightarrow\quad P\left(-2\right)=0\\
\left(-2\right)^3+a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)+2=0\\
-8+4a-2b+2=0\\
4a-2b-6=0\\
\underline{2a-b-3=0}[/dispmath]
Polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljenjem sa [inlmath]\left(x-1\right)[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]d=1,\;r=3\quad\Rightarrow\quad P\left(1\right)=3\\
1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+2=3\\
1+a+b+2=3\\
a+b+\cancel3=\cancel3\\
\underline{a+b=0}[/dispmath]
I iz tog sistema dve jednačine s dve nepoznate lako se dobije rezultat [inlmath]\left(a,b\right)=\left(1,-1\right)[/inlmath].

Dakle, bez ikakvog deljenja polinoma.