MATEMANIJA

Treba naći broj parova [inlmath](p,q)[/inlmath] ako [inlmath]p,q\in\mathbb{R}[/inlmath] takvih da je polinom [inlmath]x^4+px^2+q[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+px+q[/inlmath].

---

Znači, imamo polinome:
[dispmath]P(x)=x^4+px^2+q\\
Q(x)=x^2+px+q[/dispmath]
Pošto je delilac polinom drugog stepena, ostatak će biti polinom prvog stepena, tj. oblika [inlmath]R(x)=Ax+B[/inlmath], a nakon deljenja polinoma to bi trebalo da izgleda ovako:[dispmath]\frac{P(x)}{Q(x)}=G(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}\\
\frac{x^4+px^2+q}{x^2+px+q}=x^2-px+\left(p-q+p^2\right)+\frac{\left(2pq-p^2-p^3\right)x+\left(q-pq+q^2-qp^2\right)}{x^2+px+q}[/dispmath]
Sad, da bi polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] bio deljiv polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath] ostatak [inlmath]R(x)[/inlmath] mora biti jednak [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\left(2pq-p^2-p^3\right)x+\left(q-pq+q^2-qp^2\right)=0\\
2pq-p^2-p^3=0\quad\lor\quad q-pq+q^2-qp^2=0\\
q=\frac{p^3+p^2}{2p}\quad\lor\quad p^3\left(-p^2+1\right)(p+2)=0[/dispmath]
Iz druge jednačine dobijamo da [inlmath]p\in\{-2,-1,0,1\}[/inlmath], a kada to zamenimo u jednačinu po [inlmath]q[/inlmath] dobijamo da [inlmath]q\in\{1,0,0,1\}[/inlmath], što na kraju daje četiri para [inlmath](p,q)[/inlmath]:
[dispmath](-2,1)\\
(-1,0)\\
(0,0)\\
(1,1)[/dispmath]

---

Međutim, rešenje je da ima pet parova [inlmath](p,q)[/inlmath]. Wolfram kao peti par izbacuje [inlmath](0,-1)[/inlmath]. Nije mi jasno gde grešim.

Ilija je napisao:[dispmath]q=\frac{p^3+p^2}{2p}\quad\lor\quad p^3\left(-p^2+1\right)(p+2)=0[/dispmath]

Nisam baš uspeo da pohvatam kako si došao do ove druge jednačine, [inlmath]p^3\left(-p^2+1\right)(p+2)=0[/inlmath]. A što se tiče ove prve, [inlmath]\displaystyle q=\frac{p^3+p^2}{2p}[/inlmath], tu možeš videti da za slučaj kada je [inlmath]p=0[/inlmath] ne možeš iz nje jednoznačno odrediti [inlmath]q[/inlmath], jer tada imaš deljenje nule nulom.

Nego, kada si došao do koraka

Ilija je napisao:[dispmath]2pq-p^2-p^3=0\quad\lor\quad q-pq+q^2-qp^2=0[/dispmath]

tada to faktorišeš,
[dispmath]p\left(2q-p-p^2\right)=0\quad\land\quad q\left(1-p+q-p^2\right)=0[/dispmath]
I zatim razmatraš četiri slučaja:
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]p=0,\;q=0[/inlmath] – ovo je trivijalan slučaj, koji odmah daje jedno rešenje, [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath].
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]p=0,\;1-p+q-p^2=0[/inlmath] - ovde ćeš dobiti rešenje [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath].
[inlmath]III[/inlmath] slučaj: [inlmath]2q-p-p^2=0,\;q=0[/inlmath] - ovde ćeš dobiti rešenja [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] (ovo drugo rešenje je isto kao i u [inlmath]I[/inlmath] slučaju).
[inlmath]IV[/inlmath] slučaj: [inlmath]2q-p-p^2=0,\;1-p+q-p^2=0[/inlmath] – ovo se lako reši, tako što se od jedne jednačine oduzme druga, čime odmah dobijamo [inlmath]q=1[/inlmath], a zatim, kad to uvrstimo u bilo koju od te dve jednačine, dobijemo kvadratnu jednačinu po [inlmath]p[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]p=-2[/inlmath] i [inlmath]p=1[/inlmath] i, prema tome, rešenja ovog slučaja su [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(1,1\right)[/inlmath].

Dakle, kada je [inlmath]p=0[/inlmath], tada [inlmath]q[/inlmath] može imati dve vrednosti, a ti si dobio samo jednu, upravo zbog one jednačine [inlmath]\displaystyle q=\frac{p^3+p^2}{2p}[/inlmath], koja ne daje jednoznačno rešenje za [inlmath]q[/inlmath] kada je [inlmath]p=0[/inlmath]. Čak na osnovu nje nije bilo moguće odrediti ni par [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], nego je tebe verovatno „povuklo“ to što je brojilac nula, pa si zato i vrednost celog razlomka posmatrao kao nulu.

Daniel je napisao:Nisam baš uspeo da pohvatam kako si došao do ove druge jednačine, [inlmath]p^3\left(-p^2+1\right)(p+2)=0[/inlmath]

Pa u drugoj jednačini sistema sam zamenio [inlmath]q[/inlmath] izraženo preko [inlmath]p[/inlmath], i ispustio život dok sam sredio sve.

Daniel je napisao:Nego, kada si došao do koraka

Ilija je napisao:[dispmath]2pq-p^2-p^3=0\quad\lor\quad q-pq+q^2-qp^2=0[/dispmath]

tada to faktorišeš,
[dispmath]p\left(2q-p-p^2\right)=0\quad\land\quad q\left(1-p+q-p^2\right)=0[/dispmath]

Prvo sam i krenuo ovako, i onda sam se jednostavno pogubio u ovim slučajevima. Mada, jasnije mi je sad kako da posmatram. Znači "svaki sa svakim", sto bi se reklo.

Delimično sam ovo bespotrebno zakomplikovao u drugom delu zadatka, ali dobro. Sad mi je jasno.

Jeste, svaki sa svakim. Nego, tek sad primetih – svuda gde stoji znak [inlmath]\lor[/inlmath] treba, zapravo, umesto njega da stoji znak [inlmath]\land[/inlmath]. Ispravio sam to u svom postu.

Uvek pomešam znake za i i ili. Ovde, naravno obe jednačine moraju biti [inlmath]0[/inlmath], pa treba da stoji i, a ne ili koje sam stavio. Je li tako?

Naravno.

Da malo dopunim svoj sinoćnji post. Zbog čega „svaki sa svakim“? Prvo, jasno je da [inlmath]p\left(2q-p-p^2\right)=0[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]p=0\;\lor\;2q-p-p^2=0[/inlmath], a [inlmath]q\left(1-p+q-p^2\right)=0[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]q=0\;\lor\;1-p+q-p^2=0[/inlmath]. To znači da, kad smo došli do koraka
[dispmath]p\left(2q-p-p^2\right)=0\quad\land\quad q\left(1-p+q-p^2=0\right)[/dispmath]
to dalje možemo zapisati kao
[dispmath]\left(p=0\enspace\lor\;2q-p-p^2=0\right)\quad\land\quad\left(q=0\enspace\lor\;1-p+q-p^2=0\right)[/dispmath]
I to je onda neki logički iskaz oblika
[dispmath]\left(a\lor b\right)\;\land\;\left(c\lor d\right)[/dispmath]
E sad, na osnovu osobine distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjunkciju, imamo
[dispmath]\bigl(\left(a\lor b\right)\land c\bigr)\;\lor\;\bigl(\left(a\lor b\right)\land d\bigr)[/dispmath]
a zatim, opet na osnovu osobine distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjunkciju, imamo
[dispmath]\left(a\land c\right)\lor\left(b\land c\right)\lor\left(a\land d\right)\lor\left(b\land d\right)[/dispmath]
I to je to. Znači, unakrsno, svaki sa svakim, pri čemu ove četiri konjunkcije u zagradama predstavljaju, zapravo, ona četiri odvojena slučaja što smo razmatrali.

Logiku i iskaze radili smo još u prvom razredu srednje, a davno to beše. Moraću malo da obnovim. Svakako, hvala na kratkom objašnjenju.