MATEMANIJA

Evo jednog interesantnog zadatka (prijemni ispit, jedan od tehničkih fakulteta BU, no postovaću detaljno i izvor).

Ako su [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] nule polinoma:
[dispmath]P(x)=x^3+3x^2+2x-5[/dispmath]
odrediti vrednost izraza:
[dispmath]I=\frac{1}{p+3}+\frac{1}{q+3}+\frac{1}{r+3}[/dispmath]
Neko bi pomislio da je postupak takav da se nađu nule polinoma i uvrste u izraz.
Jedno rešenje, tj. nula polinoma je realno, a dva su konjugovano kompleksna.
Možda može i tako, no šteta za silno utrošeno vreme i energiju.

Moj je savet:
Kada god pominju date nule polinoma, primenite Vietova pravila. Bez obzira da li su nule konkretne ili opšte.

Da vidimo Vietova pravila za polinom trećeg stepena, što je ovde slučaj:
[dispmath]ax^3+bx^2+cx+d=0[/dispmath]
Odavde su korenovi polinoma iliti rešenja gornje jednačine u sledećoj vezi po Vietovim pravilima za polinom trećeg stepena:
[dispmath]x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}[/dispmath][dispmath]x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}[/dispmath][dispmath]x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}[/dispmath]
Dakle je ovde:
[dispmath]p+q+r=-3[/dispmath][dispmath]pq+pr+rq=2[/dispmath][dispmath]pqr=5[/dispmath]
E sad...
Glavni štos je da se dati izraz:
[dispmath]I=\frac{1}{p+3}+\frac{1}{q+3}+\frac{1}{r+3}[/dispmath]
sredi, tj. dovede na zajednički i sve izmnoži.
Dobićete posle laganog sređivanja sve same primene ova tri Vietova pravila, i u brojiocu (brojniku) i u imeniocu (nazivniku).
Tačan rezultat glasi:
[dispmath]I=1[/dispmath]
p.s. Postovaću i detaljniji postupak, ukoliko se neko zainteresuje, kao i Vietova pravila za polinom proizvoljnog stepena.

@desideri moze i dalji postupak, 95% prijmenih ispita ima vietova pravila, hvala i za ovo

Jesi li pokušao, za početak, da sabereš ta tri razlomka svođenjem na zajednički imenilac, kako je Desideri i rekao? Možeš li da napišeš šta dobijaš?