MATEMANIJA

Treba pomoć oko sledećeg zadatka:
Odrediti [inlmath]a,b\in\mathbb{R}[/inlmath] tako da [inlmath]x=i[/inlmath] bude jedna nula polinoma
[dispmath]P\left(x\right)=2x^5+3x^4+4x^3+x^2+ax+b,[/dispmath]
a zatim naći i sve ostale nule dobijenog polinoma.

E sad ja sam krenula ovako: Kako je kompleksan broj [inlmath]i[/inlmath] nula polinoma , to je i njegov konjugovano kompleksni broj tj. [inlmath]-i[/inlmath] takođe nula polinoma. Znači da je početni polinom deljiv sa [inlmath](x-i)(x+i)[/inlmath].
[dispmath](x-i)(x+i)=x^2+1.[/dispmath]
Tada sam početni polinom podelila sa [inlmath]x^2+1[/inlmath], dobila količnik [inlmath]2x^3+3x^2+2x-2[/inlmath] i ostatak [inlmath](a-2)x+b+2[/inlmath], koji sam izjednačila sa [inlmath]0[/inlmath] i dobila da je [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=-2[/inlmath]. Nakon toga sam bezuspešno pokušavala da preko količnika nađem ostale nule.Ispisala Vijetove formule za polinom trećeg stepena, probala sa [inlmath]\pm1,\pm2,\pm{1\over2}[/inlmath] i

Zar nije jednostavnije da u polinom koji je zadat zameniš [inlmath]i[/inlmath] te to izjednačiš s nulom?
Takođe i [inlmath]-i[/inlmath] naravno.
p.s. Nisam radio ovo, intuitivno pretpostavljam da je to - to.

[dispmath]2x^3+3x^2+2x-2=2x^3+4x^2-x^2+4x-2x-2[/dispmath]

[dispmath]x^2(2x-1)+2x(2x-1)+2(2x-1)=(2x-1)\left(x^2+2x+2\right)\\
\vdots[/dispmath]

desideri je napisao:Zar nije jednostavnije da u polinom koji je zadat zameniš [inlmath]i[/inlmath] te to izjednačiš s nulom?

Možda, ali svakako posle opet ne bi ginulo deljenje polinoma radi određivanja preostalih nula, tako da – u principu dođe na isto.
(Govorim, naravno, o ovom konkretnom zadatku – u nekom opštem slučaju, kada je potrebno samo odrediti parametre a ne i preostale nule, naravno da bi to što preporučuješ bilo efikasnije.)

jagodica bobica je napisao:probala sa [inlmath]\pm1,\pm2,\pm{1\over2}[/inlmath] i

Pa eto, iz Pentagramovog odgovora možeš videti da bi se za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] dobila još jedna nula. Verovatno si napravila neki propust u računanju, proveri to još jednom.