MATEMANIJA

Probni prijemni ispit na FON-u, 11. jun 2016.
Zadatak br. 13

Ako je polinom [inlmath]P(x)=x^5+ax^3+8x^2+bx+c[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]Q(x)=x^3-4x^2+4x[/inlmath] onda je...
Prvo sam naso nule polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath] iliti [inlmath]x_1=0;\;x_2=2[/inlmath] i te nule uvrstio u [inlmath]P(x)[/inlmath]
[dispmath]P(0)=c=0[/dispmath]
[dispmath]P(2)=32+8a+32+2b+0=0[/dispmath][dispmath]32+4a+b=0[/dispmath]
sto nam nije dovoljno da resimo po [inlmath]a,b,c[/inlmath] i onda je na redu izvod polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] jer ako je polinom deljiv nekim drugim polinomom onda je i njegov izvod ako se ne varam
[dispmath]P'(x)=5x^4+3ax^2+16x+b[/dispmath][dispmath]P'(2)=80+12a+32+b=0[/dispmath][dispmath]P'(2)=112+12a+b=0[/dispmath]
[dispmath]112+12a+b=0[/dispmath][dispmath]32+4a+b=0\quad\Big/\cdot(-1)[/dispmath]

[dispmath]80+8a=0[/dispmath][dispmath]a=-10[/dispmath][dispmath]b=8[/dispmath][dispmath]4\cdot(-10)+5\cdot8=0[/dispmath]
odnosno
[dispmath]4a+5b=c[/dispmath]
naravno kao i uvek korigujte ako ima propusta

JohnLocke je napisao:jer ako je polinom deljiv nekim drugim polinomom onda je i njegov izvod ako se ne varam

Ne, to nije pravilo. Evo ti primer, [inlmath]\left(x^2+x-6\right)[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath] i deljiv je sa [inlmath]\left(x+3\right)[/inlmath], a da li je izvod polinoma [inlmath]\left(x^2+x-6\right)[/inlmath], koji glasi [inlmath]\left(2x+1\right)[/inlmath], deljiv nekim od polinoma [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(x+3\right)[/inlmath]? Očigledno nije.

Pravilo je da, ako [inlmath]x=a[/inlmath] predstavlja [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], tada će svi izvodi polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] od prvog do [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvoda, kao i sâm polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], biti deljivi sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath]. O tome sam detaljno pisao u ovoj temi.

Pošto je ovde [inlmath]x=2[/inlmath] dvostruka nula polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], tada će i polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i njegov prvi izvod biti deljivi sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath].

---

Ovaj zadatak se može uraditi na još jedan način – tako što jednostavno podelimo polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], a zatim ostatak (za koji se dobije da iznosi [inlmath]4\left(a+10\right)x^2+\left(-4a+b-48\right)x+c[/inlmath]) izjednačimo s nulom (što znači da svi koeficijenti moraju da mu budu jednaki nuli).