MATEMANIJA

ETF Prijemni – 2009
6. zadatak

Ako je polinom [inlmath]x^{2009}+a\cdot x^2+b\cdot x+1,\;(a,b\in\mathbb{R})[/inlmath] djeljiv polinomom [inlmath]x^2+1[/inlmath] tada je [inlmath]2\cdot a+b=?[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]1[/inlmath]


Imali neko kakvih ideja za ovaj zadatak, svaka pomoć bi dobro došla.
Ovako očigledno ne možemo koristiti bezuov stav tj. da je polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] djeljiv polinomom oblika [inlmath]x-a[/inlmath] ako je [inlmath]P(a)=0[/inlmath]. Takođe pokušao sam dijeliti onim "staromodnim" načinom da bih vidio da li će se pojaviti nekakva relacija ali pošto je velika razlika u stepenima polinoma ovo djeljenje može ići u nedogled ....

Primeti da su nule ([inlmath]\pm i[/inlmath]) polinoma [inlmath]x^2+1[/inlmath], takođe i nule ovog drugog polinoma (zbog deljivosti). Zameni jednu od tih nula u polinom sa nepoznatim koeficijentima...

dzenan9999 je napisao:Takođe pokušao sam dijeliti onim "staromodnim" načinom da bih vidio da li će se pojaviti nekakva relacija ali pošto je velika razlika u stepenima polinoma ovo djeljenje može ići u nedogled ....

Može i tako.
viewtopic.php?f=29&t=426

dzenan9999 je napisao:Imali neko kakvih ideja za ovaj zadatak,

Rastavljeno

Uvek treba napisati izvor zadatka i rezultat koji treba da se dobije (ukoliko vam je poznat) – dodao sam te podatke u tvoj post.

Hvala vam. Nisam mogao naći taj zadatak među zadacima sa matemanije pa nije bio iz tog izvora i to je razlog zašto nisam znao ni rješenje ni izvor zadatka.

Radim neke zadatke sa aplikacije 'Maturang', da je obicno deljenje polinoma verovatno mi ne bi trebala pomoc, ali ovde je u pitanju nesto vise.

Tekst zadatka glasi:
Ako je polinom [inlmath]x^{2009}+ax^2+bx+1[/inlmath], a [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] su realni brojevi, deljiv sa polinomom [inlmath]x^2+1[/inlmath], tada je [inlmath]2a+b[/inlmath] jednako?
Ponudjena resenja su [inlmath]1;\;-1;\;-3;\;3;\;0[/inlmath].

Uopste ne znam kako da pocnem posto nije u pitanju polinom sa malim stepenom.

[inlmath]P(i)=0[/inlmath] i sve će da se reši samo od sebe

Ako bi mogla mala pomoc, tj. malo detaljnije posto deljenje polinoma stvarno dugo nisam radio

Ovde nema potrebe da dijeliš polinome. Dovoljno je da nule djelioca uvrstiš u dijeljenik (umjesto [inlmath]x[/inlmath]), pa to sve izjednačiš sa nulom. U ovom slučaju imaš konjugovano kompleksne nule, pa je dovoljno uvrstiti samo jednu (bobanex je predložio da koristiš [inlmath]i[/inlmath], što i ja predlažem). Dobićeš jednačinu sa kompleksnim brojevima čija rješenja su očigledna i bez mnogo računa.
P.S. U ovom tipu zadatka (sa velikim stepenovima) uvijek samo uvrštavaj nule djelioca. Lakše je nego da dijeliš.

Evo i detaljnijeg objašnjenja zbog čega je [inlmath]P(i)=P(-i)=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]x^2+1[/inlmath], znači da je moguće napisati [inlmath]P(x)=G(x)\cdot\left(x^2+1\right)[/inlmath], gde je [inlmath]G(x)[/inlmath] polinom koji predstavlja količnik polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]x^2+1[/inlmath].
Rastavljanjem [inlmath]x^2+1[/inlmath] na [inlmath](x-i)(x+i)[/inlmath] to je dalje moguće napisati kao [inlmath]P(x)=G(x)\cdot(x-i)(x+i)[/inlmath]. Vidimo da će uvrštavanjem [inlmath]x=i[/inlmath] ili [inlmath]x=-i[/inlmath] desna strana biti nula, pa samim tim mora biti nula i leva strana, što znači da je [inlmath]P(i)=P(-i)=0[/inlmath].