MATEMANIJA

Nisam siguran da li ovaj zadatak treba ici u ovaj forum...
Treba naci realne parametre [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da [inlmath]x_1=i[/inlmath] bude korijen jednacine [inlmath]x^4+4x^3+ax^2+bx+5=0[/inlmath]

Ja sam nasao [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. [inlmath]a=6[/inlmath] i [inlmath]b=4[/inlmath]
I drugi korijen [inlmath]x_2=-i[/inlmath] (po nekom pravilu ili teoremi ako je jedan korijen kompleksan broj, onda je i njegov konjugovano kompleksni takodje korijen)

Posto je najveci stepen 4, to znaci da ima 4 korijena.
Ali ja ne znam kako da nadjem ostale korijene. Nemam ideju kako da to uradim.

Kako znamo rješenja [inlmath]x_1=i[/inlmath], i [inlmath]x_2=-i[/inlmath], to znamo da je naš polinom [inlmath]x^4+4x^3+6x^2+4x+5=0[/inlmath], djeljiv sa faktorom [inlmath]x^2+1[/inlmath], pa imamo [inlmath]\left(x^2+1\right)\cdot\left(x^2+4x+5\right)=0[/inlmath].

Rješavajući [inlmath]x^2+4x+5=0[/inlmath], dobijemo [inlmath]x_3=-2+i[/inlmath], i [inlmath]x_4=-2-i[/inlmath]

Nije mi samo jasno kako smo od ta prva dva korijena dobili faktor [inlmath]x^2+1[/inlmath]

Mislim da je ovo pre za potforum "Polinomi", nego za kompleksne brojeve, ali neka admini odluče.

Parametri [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] su ti tačni. Pretpostavljam da si polazni polinom delio polinomom [inlmath](x+i)(x-i)=x^2+1[/inlmath], pri čemu si dobio količnik [inlmath]x^2+4x+a-1[/inlmath]. U principu, ako je ovo ceo zadatak, ti si ga završio, pošto zadatak glasi "...odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]...". Ako bi zadatak bio "...odrediti nule polinoma...", onda idemo dalje
[dispmath]x^2+4x+a-1=x^2+4x+5[/dispmath][dispmath]x_{1/2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}[/dispmath][dispmath]x_{1/2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}[/dispmath][dispmath]x_{1/2}=\frac{-4\pm2i}{2}[/dispmath][dispmath]x_{1/2}=-2\pm i[/dispmath] Kao što si i sam rekao, konjugovane nule polinoma uvek idu "u paru". Sada još eventualno možeš svoj polazni polinom da predstaviš u faktorizovanom obliku:
[dispmath]x^4+4x^3+6x^2+4x+5=(x+i)(x-i)(x+2+i)(x+2-i)[/dispmath]

Ups, preduhitrila me mala_mu.

Za ss_123: Ako je neki polinom deljiv i sa [inlmath]x-a[/inlmath] i sa [inlmath]x-b[/inlmath], on će biti deljiv i sa [inlmath](x-a)(x-b)[/inlmath]. U ovom slučaju si imao zadato da ti je polazni polinom deljiv sa [inlmath]x-i[/inlmath], a pošto mu je onda sigurno nula i [inlmath]-i[/inlmath], polinom mora da bude deljiv i sa [inlmath]x+i[/inlmath], a samim tim i proizvodom [inlmath](x+1)(x-i)=x^2+1[/inlmath]. Napravi analogiju sa brojevima: ako je broj deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath], onda će sigurno biti deljiv i sa [inlmath]2\cdot3=6[/inlmath].

Sad mi je sve jasno. Hvala puno (:

miletrans je napisao:Mislim da je ovo pre za potforum "Polinomi", nego za kompleksne brojeve, ali neka admini odluče.

Tako je. Premešteno u „Polinome“.

@ss_123, ovo baš i ja htedoh da pitam:

miletrans je napisao:U principu, ako je ovo ceo zadatak, ti si ga završio, pošto zadatak glasi "...odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]...".

Iz teksta zadatka koji si postavio ne vidim svrhu određivanja ostalih korena. Koren [inlmath]x_1=i[/inlmath] sasvim je dovoljan da bi se odredili parametri [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], što je jedino i traženo u zadatku. Dovoljno je samo u polazni polinom umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstiti [inlmath]i[/inlmath], zatim razdvojiti realni i imaginarni deo jednačine, čime se dobiju dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. I kraj priče.

Ne trazi se u zadatku, ali ja sam htio da i to uradim da izvjezbam, ako bude mozda nekad i takav zadatak.

OK, to je u redu. Reko', da ne zbunjujemo ostale koji budu hteli da ovaj zadatak urade na najkraći način (jer nekad je i vreme vrlo bitno, pogotovo na testu).
Dakle, ovaj način koji sam pomenuo – uvrstimo [inlmath]x=i[/inlmath] u polinom,
[dispmath]i^4+4i^3+ai^2+bi+5=0\\
1-4i-a+bi+5=0\\
6-a+i(b-4)=0[/dispmath] odakle se, razdvajanjem realnog i imaginarnog dela, dobija sistem
[dispmath]6-a=0\\
b-4=0[/dispmath]