MATEMANIJA

1. Ako polinom [inlmath]P(x)=x^3+px+q\in\mathbb{R}[x][/inlmath] ima tri realne nultočke, tada je [inlmath]P[/inlmath] negativan broj. Kako to dokazati?

2. Dokazati da polinom s cjelobrojnim koeficijentima, koji u tri različita cijela broja poprima vrijednost [inlmath]1[/inlmath], ne može imati cjelobrojnu nultačku.

HVALA!!

Da li je u [inlmath]2.[/inlmath] zadatku rečeno kog je stepena polinom?

Što se tiče [inlmath]1.[/inlmath] zadatka, prvo napiši Vietove formule. Iz njih sledi (to prepuštam tebi da pokažeš) da je
[dispmath]-(x_2+x_3)x_2+x_2x_3-(x_2+x_3)x_3=p[/dispmath] i, kad se to sredi,
[dispmath]-\left(x_2^2+x_2x_3+x_3^2\right)=p\tag1[/dispmath] Da je [inlmath]\left(x_2^2+x_2x_3+x_3^2\right)[/inlmath] veće od nule može se dokazati na osnovu identiteta za razliku kubova:
[dispmath]x_2^3-x_3^3=(x_2-x_3)\left(x_2^2+x_2x_3+x_3^2\right)\quad\Longrightarrow\quad x_2^2+x_2x_3+x_3^2=\frac{x_2^3-x_3^3}{x_2-x_3}\tag2[/dispmath] Pošto je [inlmath]f(x)=x^3[/inlmath] monotono rastuća funkcija, to znači da važi
[dispmath]\left(x_2<x_3\;\iff\;x_2^3<x_3^3\right)\enspace\wedge\enspace\left(x_2>x_3\;\iff\;x_2^3>x_3^3\right)[/dispmath] a iz toga, opet, sledi
[dispmath]\left(x_2-x_3<0\;\iff\;x_2^3-x_3^3<0\right)\enspace\wedge\enspace\left(x_2-x_3>0\;\iff\;x_2^3-x_3^3>0\right)[/dispmath] odakle sledi da će uvek biti zadovoljeno
[dispmath]\frac{x_2^3-x_3^3}{x_2-x_3}>0[/dispmath] pošto su kod tog razlomka i brojilac i imenilac uvek istog znaka.

Na osnovu [inlmath](2)[/inlmath] zaključujemo i da je [inlmath]x_2^2+x_2x_3+x_3^2>0[/inlmath], a zatim, na osnovu [inlmath](1)[/inlmath], i da je [inlmath]p<0[/inlmath], što je i trebalo dokazati.

Daniel je napisao:Da li je u [inlmath]2.[/inlmath] zadatku rečeno kog je stepena polinom?

Ovo je za kolegicu, a ona kako mi je izdiktirala sinoc ja mislim da nije, jer rekla bi mi da pise..

P.S. Hvala ti za ovaj 1.

Molba i za tebe a i za sve ostale, umesto što ovde prosleđujete zadatke svojih koleginica i kolega, bolje pozovite svoje koleginice i kolege da se, ako im treba pomoć, pridruže ovom forumu, dobrodošli su.

Sa zakašnjenjem od 4 godine, prilažem rešenje drugog zadatka iz ove teme
Ako polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] uzima vrednost [inlmath]1[/inlmath] u tri različite celobrojne tačke znači da je [inlmath]P(x)=1[/inlmath] za neke [inlmath]a,b,c[/inlmath] ([inlmath]a,b,c\in\mathbb{Z}[/inlmath]), tj. [inlmath]a,b,c[/inlmath] su nule polinoma [inlmath]P(x)-1[/inlmath]. Prema Bezuovom stavu polinom [inlmath]P(x)-1[/inlmath] je deljiv polinomom [inlmath](x-a)(x-b)(x-c)[/inlmath], te postoji polinom [inlmath]G(x)[/inlmath] sa celobrojnim koeficijentima gde je:
[dispmath]P(x)-1=(x-a)(x-b)(x-c)G(x)[/dispmath] ako bi polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] imao vrednost [inlmath]0[/inlmath] za neko [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath] tada bi:
[dispmath]-1=(k-a)(k-b)(k-c)G(k)[/dispmath] što nije moguće jer bi [inlmath]-1[/inlmath] bio proizvod različitih celih brojeva, ([inlmath]k-a[/inlmath], [inlmath]k-b[/inlmath], [inlmath]k-c[/inlmath] i [inlmath]G(k)[/inlmath] su zasigurno celi brojevi).