MATEMANIJA

Ovako glasi zadatak
Zbir kvadrata resenja jednacine [inlmath]x^4−17x^3+65x^2+17x−66=0[/inlmath] je?
Problem mi je sto ne mogu da svedem jednacinu na kvadratnu, ako se tako radi zadatak.
Uspem da svedem pocetnu jednacinu na [inlmath]\left(x^3-16x^2+49x+66\right)(x-1)[/inlmath], ali ne mogu dalje da razlozim ovo sto sam dobio.
Hvala unapred.

Aleksandar456 je napisao:[inlmath]X4−17X3+65X2+17X−66=0[/inlmath]

Može li ovo malo lepše da se napiše?
U Latexu (a i inače) za stepenovanje se koristi simbol ^.
I, ne vidim čemu veliko slovo [inlmath]x[/inlmath].

Kako god, ako si već krenuo na taj način, možeš pokušati i s ostalim deliocima slobodnog člana [inlmath]66[/inlmath] – i pozitivnim i negativnim. To su sve kandidati za rešenja, u slučaju da su sva rešenja celobrojna.
Mada je elegantnije (a i jedino moguće u slučaju da rešenja nisu celobrojna), ako se već ne traže rešenja već zbir kvadrata rešenja – ići preko Vietovih formula.

Dodao bih ovde još jedan (po meni možda i najlakši način rešavanja):
[dispmath]x^4-17x^3+65x^2+17x-66=0[/dispmath] Pretpostaviću da je ovo polazna jednačina, složićeš se da je preglednije. Prvo ćemo [inlmath]66[/inlmath] da napišemo kao [inlmath]65+1[/inlmath], pa ćemo malo da "izmešamo" jednačinu:
[dispmath]x^4-1-17x^3+17x+65x^2-65=0[/dispmath] Sada [inlmath]x^4-1[/inlmath] pišemo kao razliku kvadrata, a iz preostalih članova izvlačimo zajedničke činioce:
[dispmath]\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-17x\left(x^2-1\right)+65\left(x^2-1\right)=0[/dispmath] Sada vidiš i sam da nam se u svakom sabirku pojavljuje [inlmath]x^2-1[/inlmath], pa možemo da izvučemo kao zajednički:
[dispmath]\left(x^2-1\right)\left(x^2+1-17x+65\right)=0\\
\left(x^2-1\right)\left(x^2-17x+66\right)=0[/dispmath] Sada je lako odrediti nule, a ako bude problema, zovi upomoć.

@miletrans Svaka čast, odlična ideja

Samo se ne bih složio sa ovim delom:

miletrans je napisao:Dodao bih ovde još jedan (po meni možda i najlakši način rešavanja)

Ne bih baš rekao da je najlakši budući da se traži zbir kvadrata rešenja jednačine. Mislim da bi bilo lakše, kako je i Daniel pomenuo, preko Vietovih formula:
[dispmath]x_1+x_2+x_3+x_4=17\;\Longrightarrow\;(x_1+x_2+x_3+x_4)^2=289\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\cdot\underbrace{(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)}_{65}=289\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=289-130=\enclose{box}{159}[/dispmath] Da su se tražila konkretna rešenja jednačine tvoje rešenje bi, mislim, svakako bilo najelegantnije.

Štaviše, ovo se može i uopštiti:
Kod svakog polinoma oblika [inlmath]x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n[/inlmath] suma kvadrata njegovih nula jednaka je [inlmath]a_1^2-2a_2[/inlmath].

Shvatio sam, zahvaljujem
A i izvinjavam se zbog zapisa, ne znam sta se desilo, kada sam napisao u i isao na pregled sve je bilo okej....