MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 10. jun 2017.
3. zadatak

Polinom [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath] četvrtog stepena sa realnim koeficijentima i vodećim koeficijentom jednakim [inlmath]1[/inlmath] ima dve realne nule [inlmath]x_1=-4[/inlmath] i [inlmath]x_2=2[/inlmath] i dve kompleksne nule [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] (koje nisu realne). Ukoliko je ostatak pri deljenju [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-32[/inlmath], a polinomom [inlmath]x+1[/inlmath] jednak [inlmath]-18[/inlmath], moduo kompleksnih nula, [inlmath]x_3[/inlmath], [inlmath]x_4[/inlmath] polinoma iznosi:
[inlmath]A)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4[/inlmath]
Kako biste rešavali ovaj zadatak?

Koji je odgovor tačan?

U svakom slučaju bih primenio Vietove formule jer je traženi moduo jednak [inlmath]\sqrt{x_3x_4}[/inlmath].

Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath]. Zadatak je sa probnog prijemnog na MATF-u.
Ovaj zadatak sam inače izdvojio jer sam primetio da ima višak podataka, a i čudan mi je ovaj deo gde objašnjavaju da kompleksni brojevi nisu realni.

Poznato je [inlmath]a=1[/inlmath] dok iz [inlmath]p(0)=-32[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]e=-32[/inlmath].
Iz Vietovih formula imamo [inlmath]{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = \frac{e}{a} = - 32[/inlmath], pošto je [inlmath]{x_1}{x_2} = - 8[/inlmath] to je [inlmath]{x_3}{x_4} = 4[/inlmath].
Primećujete da jedan podatak nisam koristio.

@Bobanex, resila sam bas danas taj zadatak, sada cu da posaljem postupak

Polinom sam napisala ovako
[inlmath]P(x)=x^4+ax^2+bx^3+cx+d[/inlmath]
[inlmath]P(0)=-32[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]d=-32[/inlmath]
[inlmath]P(-1)=-18[/inlmath], odakle je [inlmath]1-a+b-c-32=-18[/inlmath], kada se sredi to je [inlmath]\enclose{box}{-a+b-c=13}[/inlmath]
[inlmath]P(2)=0[/inlmath], odakle je [inlmath]\enclose{box}{16+8a+4b+2c-32=0}[/inlmath] , podelicu ceo izraz sa [inlmath]2[/inlmath]
[inlmath]P(-4)=0[/inlmath], odakle je [inlmath]\enclose{box}{256-64a+16b-4c-32=0}[/inlmath] podelicu ceo izraz sa [inlmath]4[/inlmath]
dobija se sistem od tri jednacina, resava se Gausovom metodom, za marker sam uzela [inlmath]+c[/inlmath], samo se sabere sa gornjom i donjom jednacinom i dobija se
[inlmath]a=5[/inlmath], [inlmath]b=2[/inlmath], [inlmath]c=-16[/inlmath]
Sada se primene Vietove formule, [inlmath]x_1x_2x_3x_4=-32[/inlmath], a [inlmath]x_1+x_2+x_3+x_4=-5[/inlmath], [inlmath]x_1=2[/inlmath]; [inlmath]x_2=-4[/inlmath] (ove nule se zamene...) dobija se da je [inlmath]x_3x_4=4[/inlmath] i [inlmath]x_3+x_4=-3[/inlmath] sada napisemo jednacinu u kojoj bi ovo bila resenja (kompleksna)
[inlmath]x^2+3x+4=0[/inlmath]
jedno resenje je [inlmath]-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt7}{2}[/inlmath] drugo je konjugovano kompleksno, kada se zamene u formulu za moduo, dobija se [inlmath]\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}=\enclose{box}{4}[/inlmath]

Ja verujem da to može i komplikovanije

Zar nije poenta da se sto pre uradi, ipak je bio na probnom?

Ako bolje pogledaš videćeš da se zadatak radi u par koraka.

Kako?