MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 10. jun 2017.
3. zadatak

Polinom [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath] četvrtog stepena sa realnim koeficijentima i vodećim koeficijentom jednakim [inlmath]1[/inlmath] ima dve realne nule [inlmath]x_1=-4[/inlmath] i [inlmath]x_2=2[/inlmath] i dve kompleksne nule [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] (koje nisu realne). Ukoliko je ostatak pri deljenju [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-32[/inlmath], a polinomom [inlmath]x+1[/inlmath] jednak [inlmath]-18[/inlmath], moduo kompleksnih nula, [inlmath]x_3[/inlmath], [inlmath]x_4[/inlmath] polinoma iznosi:
[inlmath]A)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4[/inlmath]
Kako biste rešavali ovaj zadatak?

Koji je odgovor tačan?

U svakom slučaju bih primenio Vietove formule jer je traženi moduo jednak [inlmath]\sqrt{x_3x_4}[/inlmath].

Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath]. Zadatak je sa probnog prijemnog na MATF-u.
Ovaj zadatak sam inače izdvojio jer sam primetio da ima višak podataka, a i čudan mi je ovaj deo gde objašnjavaju da kompleksni brojevi nisu realni.

Poznato je [inlmath]a=1[/inlmath] dok iz [inlmath]p(0)=-32[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]e=-32[/inlmath].
Iz Vietovih formula imamo [inlmath]{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = \frac{e}{a} = - 32[/inlmath], pošto je [inlmath]{x_1}{x_2} = - 8[/inlmath] to je [inlmath]{x_3}{x_4} = 4[/inlmath].
Primećujete da jedan podatak nisam koristio.

@Bobanex, resila sam bas danas taj zadatak, sada cu da posaljem postupak

Polinom sam napisala ovako
[inlmath]P(x)=x^4+ax^2+bx^3+cx+d[/inlmath]
[inlmath]P(0)=-32[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]d=-32[/inlmath]
[inlmath]P(-1)=-18[/inlmath], odakle je [inlmath]1-a+b-c-32=-18[/inlmath], kada se sredi to je [inlmath]\enclose{box}{-a+b-c=13}[/inlmath]
[inlmath]P(2)=0[/inlmath], odakle je [inlmath]\enclose{box}{16+8a+4b+2c-32=0}[/inlmath] , podelicu ceo izraz sa [inlmath]2[/inlmath]
[inlmath]P(-4)=0[/inlmath], odakle je [inlmath]\enclose{box}{256-64a+16b-4c-32=0}[/inlmath] podelicu ceo izraz sa [inlmath]4[/inlmath]
dobija se sistem od tri jednacina, resava se Gausovom metodom, za marker sam uzela [inlmath]+c[/inlmath], samo se sabere sa gornjom i donjom jednacinom i dobija se
[inlmath]a=5[/inlmath], [inlmath]b=2[/inlmath], [inlmath]c=-16[/inlmath]
Sada se primene Vietove formule, [inlmath]x_1x_2x_3x_4=-32[/inlmath], a [inlmath]x_1+x_2+x_3+x_4=-5[/inlmath], [inlmath]x_1=2[/inlmath]; [inlmath]x_2=-4[/inlmath] (ove nule se zamene...) dobija se da je [inlmath]x_3x_4=4[/inlmath] i [inlmath]x_3+x_4=-3[/inlmath] sada napisemo jednacinu u kojoj bi ovo bila resenja (kompleksna)
[inlmath]x^2+3x+4=0[/inlmath]
jedno resenje je [inlmath]-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt7}{2}[/inlmath] drugo je konjugovano kompleksno, kada se zamene u formulu za moduo, dobija se [inlmath]\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}=\enclose{box}{4}[/inlmath]

Ja verujem da to može i komplikovanije

Zar nije poenta da se sto pre uradi, ipak je bio na probnom?

Ako bolje pogledaš videćeš da se zadatak radi u par koraka.

Kako?

Pogledaj drugi i četvrti post.

I mene je zbunio višak podataka, zato sam i pitao koje je tačno rešenje. Mada, da li bi neku razliku pravilo i da vodeći koeficijent nije [inlmath]1[/inlmath]? Hoću reći da li je i to suvišno?

Da, zaista je ostatak [inlmath]-18[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x+1[/inlmath] suvišan podatak. [inlmath]a=1[/inlmath] nije suvišan podatak, iz bobanexovog postupka se vidi da bi u opštem slučaju traženi moduo bio [inlmath]\sqrt{x_3x_4}=\frac{2}{\sqrt a}[/inlmath].

Pokazao bih još jedan način (ne baš tako jednostavan kao bobanexov, al' ne ni mnogo komplikovan). Uzeću namerno da [inlmath]a[/inlmath] nije jednako [inlmath]1[/inlmath], već da je nepoznato (lako se na kraju uvrsti [inlmath]a=1[/inlmath]).
Polinom možemo predstaviti u sledećem obliku:
[dispmath]P(x)=a(x+4)(x-2)\left(x^2+px+q\right)[/dispmath] gde faktor [inlmath]\left(x^2+px+q\right)[/inlmath] nema realne nule. Pošto je ostatak pri deljenju sa [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-32[/inlmath], primenom Bezuove teoreme dobijamo:
[dispmath]P(0)=-8aq=-32\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{4}{a}[/dispmath] Namerno neću primeniti onaj suvišan podatak, na osnovu kojeg bih mogao naći koliko je [inlmath]p[/inlmath]. Sada [inlmath]q=\frac{4}{a}[/inlmath] uvrstimo u faktor [inlmath]\left(x^2+px+q\right)[/inlmath] i nađemo njegove kompleksne nule:
[dispmath]x^2+px+\frac{4}{a}=0\\
x_{3,4}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-\frac{16}{a}}}{2}[/dispmath] Odavde se vidi da jedini uslov da [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] ne budu realni brojevi jeste taj da je [inlmath]0<a<\frac{16}{p^2}[/inlmath]. Iliti, za [inlmath]a=1[/inlmath], da je [inlmath]-4<p<4[/inlmath], što bismo i dobili ([inlmath]p=3[/inlmath]) ako bismo iskoristili onaj suvišan podatak. Taj podatak i pored toga jeste suvišan, jer je u tekstu zadatka lepo naglašeno da [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] nisu realne nule, pa se stoga podrazumeva da [inlmath]p[/inlmath] mora imati takvu vrednost koja to ispunjava.
[dispmath]x_{3,4}=\frac{-p\pm i\sqrt{\frac{16}{a}-p^2}}{2}[/dispmath]

Odatle je moduo tih nula jednak:
[dispmath]|x_3|=|x_4|=\sqrt{\frac{p^2}{4}+\frac{\frac{16}{a}-p^2}{4}}=\frac{2}{\sqrt a}[/dispmath] Dakle, definitivno ne zavisi od [inlmath]p[/inlmath]. A samim tim ni od onog suvišnog podatka.

bobanex je napisao:a i čudan mi je ovaj deo gde objašnjavaju da kompleksni brojevi nisu realni.

Nisam baš najbolje razumeo šta je u tom delu čudno. Kompleksni brojevi obuhvataju kako brojeve koji nisu realni, tako i realne brojeve – jer je skup kompleksnih brojeva nadskup skupa realnih brojeva. Ovde je naglašeno da su to kompleksni brojevi kojima je imaginaran deo različit od nule. Ne znam da li si na to mislio?

Ne znam, čudno mi je zazvučalo, mada znam šta su hteli reći.

- Dve kompleksne nule x3, x4 (koje nisu realne) znači da su to brojevi oblika a+bi i a-bi gde b nije 0 (i brojevi -4 I 2 su
kompleksni sa imaginarnim delom koji je jednak 0!) s obzirom da je polinom sa realnim koeficijentima .
Ako plinom p(x) predstavimo u obliku p(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) i znajući da je a=1, x1=-4, x2=2, x3=a+bi i x4=a-bi,
dobijamo p(x)= (x+4)(x-2)(x2-2ax+a2+b2) jer je (x-x3)(x-x4)=x2-x(x3+x4)+x3x4. Ukoliko je ostatak pri deljenju p(x) polinomom x
jednak −32, primenom Bezuovog stava je p(0)=-32, pa dobijamo -8(a2+b2)=-32 tj (a2+b2)=4.
(a2+b2) je kvadrat modula kompleksnog broja što nam daje odgovor da je moduo kompleksnog broja 2. Drugi pdatak
„ostatak pri deljenju p(x) polinomom x+1 jednak −18“ je suvišan!

@Marko2001, sve je to tačno, ali bih te podsetio na jedno od osnovnih pravila ovog foruma, a to je da treba koristiti Latex (što sam te takođe zamolio i u sinoćnjoj privatnoj poruci koju još nisi pogledao).

Ovo bode oči koliko je nečitko i teško razumljivo – npr. negde ti x2 predstavlja [inlmath]x_2[/inlmath], a negde predstavlja [inlmath]x^2[/inlmath].