MATEMANIJA

12. zadatak
Ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]x^{2018}-x^{2017}-1[/inlmath] polinomom [inlmath]x^2+1[/inlmath] jednak je čemu?
[dispmath]x^2=-1\;\Longrightarrow\;x=\pm i[/dispmath][dispmath]P(i)=0\;\Longrightarrow\;i^{2018}-i^{2017}-1=0[/dispmath][dispmath]i^{2016+2}-i^{2016+1}-1=0\\
-1-i-1=0\\
-2-i=0[/dispmath] Ostatak je oblika [inlmath]\enclose{box}{-2-x}[/inlmath] jer umesto [inlmath]x[/inlmath] u prethodnoj jednačini sam ubacila [inlmath]i[/inlmath].

Imaš dobru ideju da iskoristiš Bezuov stav (zbog kog sam ja svojevremeno prvi put došao na Matemaniju). Ali, kada u svoj polinom ubaciš [inlmath]i[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath], ne možeš da napišeš da je to jednako [inlmath]0[/inlmath]. To bi važilo ako bi znala da je tvoj polinom deljiv polinomom [inlmath]x^2+1[/inlmath] (ima zadataka gde se to koristi). Pogledaj poslednji red. Ne može [inlmath]-2-i[/inlmath] da bude jednako [inlmath]0[/inlmath]. Ali, kao što rekoh, mislim da pravilno razmišljaš. Kao vid provere možeš da vidiš šta će se desiti ako umesto [inlmath]x[/inlmath] staviš [inlmath]-i[/inlmath].

[inlmath]P\left(i\right)=R\left(i\right)[/inlmath] gde je [inlmath]R[/inlmath] ostatak pri deljenju koji ima oblik [inlmath]ax+b[/inlmath].

Izvinjavam se, stvarno sam ogromnu grešku napravila...dakle [inlmath]-2-i=ai+b\;\Longrightarrow\;a=-1,\;b=-2[/inlmath]
Tako da je ostatak oblika [inlmath]ax+b[/inlmath] jednak [inlmath]-x-2[/inlmath]

Ma tebi je rezultat ok samo je postupak čudan

Kada zamenim [inlmath]-i[/inlmath] dobijam [inlmath]i-2=ai+b[/inlmath] odakle je [inlmath]a=1,\;b=-2[/inlmath]
Zbog čega? o.O

Zato što nisi zamenio. Da jesi dobio bi [inlmath]i-2=a(-i)+b[/inlmath]